17
例6. 设
解法1:
f (x )
3
1 f (e ) 3
解法2: 对已知等式两边求导, 得
f (e ) f ( u) d u f (1)
1
e

e 1
f ( u)d u f (e ) f (1)

1 0
x dx
12
p
例2. 用定积分表示极限:
n 1 i i 1 解: 原式 lim sin(π ) lim sin(π ) n n n n i 1 n n i 1
n 1

1 0
sinπ x d x
o
1 n
2 n
n 1 n
1
x
1 n 1 iπ π 1 1 n n i i π 1π 1 π ( sin ) f sin 另解 : 原式 lim f sin x d x lim ( x )d x f ( xlim ) C [0,1] 定理： n π n n n in n 0n π 0 n i 1 1 i 1 n 1 1 n i 1 f ( x )d x f( ) 或者 lim π ( n1) π π x n n o n 2π 0 i 1 n n n
0
7
b
4.定积分的性质 (性质中涉及到的定积分均存在) (1) 线性性： [k1 f ( x) k2g( x)]dx k1 f ( x)dx k2 g( x )dx
(2) 可加性： f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx (3) (4) 若 f ( x ) g( x ), 则 f ( x )dx g( x )dx . (a b)
曲边梯形的面积;
2) 当f ( x ) 0时， f ( x )dx A 曲边梯形面积的负值;
y
y f ( x)
A
o a
y a o b x
b
A y f ( x)
y
y f ( x)
x
a
A1
O
A3
A2
b
x
3)当f ( x )在[a, b]上有正有负时,
面积的代数和.
b

b
a
f ( x )dx 表示各部分



13
例3. 求
(1998考研)
解: 将数列适当放大和缩小,以简化成积分和形式
n n kπ 1 sin n 1 k 1 n n
n
sin knπ 1 k 1 n k
n
kπ 1 sin n n k 1
n lim 1 n n 1
n
已知
1 kπ 1 2 lim sin sinπ x d x , 0 n n n π k 1
n
b f ( x )d x lim f ( ) x i i f ( x )d x A2 A 即 a 0 A 1 3 i 1 a

6

b
a
f ( x )dx 的几何意义： 它是介于x轴,函数f ( x )的图形及两条
直线x a, x b 之间的各部分面积的代数和. 且x轴上方的
F ( 3)
3 0
f ( t )dt

0
3
1 3 f ( t )dt ( ) 8 2 8
F (3) F (3) ！
F (2) F ( 2)？
16
d x 2 2 A tf ( x t ) d t ____ . f ( x ) 连续，则 例5. 设 0 dx ( A) xf ( x 2 ); ( B) xf ( x 2 ); (C )2 xf ( x 2 ); ( D) 2 xf ( x 2 ).

b
a
f ( x )dx f ( t )dt f ( u)du
a
b
b
a
(4)当 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时,称f ( x)在[a, b]上可积.
否则称 f ( x)在区间[a, b]上不可积. (5) 曲边梯形面积 A lim f ( i )xi
0 i 1
f ( x )在区间[a, b]上可积.
定理3. 设函数f ( x )在[a, b]上只有有限个第一类间断点,
f ( x )在区间[a, b]上可积.
故改变积分区间内有限个点处的函数值,不影响积分值.
5
3.定积分的几何意义
1) 当f ( x ) 0时， f ( x)dx A
a b a
b
d f ( x )dx f ( x ) dx
d x f ( x )dx f ( x ) dx a


b a
f ( x )dx f ( x )dx C
a
x
f ( x )dx f ( x )dx a a
x
a
b

f ( x )dx lim
一个确定的 常数
10
一个确定的 常数
无数个函 数
一个函数

b
a
f ( x )dx与 f ( x )dx； f ( x )dx , a f ( x )dx的联系：
a
b
x


a
f ( x )dx f ( x )dx a
b
d b f ( x )dx 0 dx a
2 利用夹逼准则可知 I . π
n n 1 1 1 1 k 1 n 1 k 1 n k k 1 n
14
n
例4. 如图连续函数 y f ( x )在区间[3, 2],[2, 3]上的图像 ,在区间 [2, 0],[0, 2]上的 分别是直径为1 的上、下半圆周 1 则下列结论正确的是（C ） 5 3 B. F (3) F (2) A. F (3) F ( 2) 4 4 5 3 D. F ( 3) F ( 2) C. F ( 3) F (2) 4 4 图形分别是直径为 2 的下、上半圆周,设F ( x ) f (t )dt
0 x
3 F (3) F ( 3) 8
F (2) F ( 2)

2
15
F ( x ) f ( t )dt
0
x
F (2) f ( t )dt 0 2
2
F (3)，F (2)，F ( 3)，F ( 2) ？ 3 1 3 F (3) f (t )dt 0 2 8 8
a
x
6.以下几个符号的区别与联系


b
f ( x )dx


b a
f ( x )dx

x
x a
f ( x )dx


a
f ( x )dx
1)以上几个符号存在的条件及概念.
2)在存在的情况下,它们的区别与联系.
a
f ( x )dx与
f ( x )dx;

a
f ( x )dx ,
a
f ( x )dx 的区别：
定理： f ( x ) C[0,1] 或者

1 n i 1 lim f ( ) n n n i 1
f ( x )dx
0
p p
1 n i lim f ( ) n n n i 1
1

p
1
0
f ( x )dx
1 2 n 例1. 用定积分表示极限: lim n n p 1 p p p n 1 1 2 n i p 解: lim lim p 1 n n n n n i 1
x

x
x a
f (t )dt

b
a
f ( x )dx lim f (t )dt
x b a
(b瑕点)
11
二、与概念有关的问题
☆定积分定义
O

i 1 n
b a
f ( x )dx lim f ( i )x i
0
i 1
n
ab
i n
1
x
1 i xi , 取 i . n n
解: 令x t u, tdt du,
2 2
1
2

x
0
tf ( x 2 t 2 )dt
0 x2
1 1 x f ( u) ( )du 0 f ( u)du, 2 2
2
x2 d x d 1 2 2 故 tf ( x t )dt f ( u)du dx 0 dx 2 0 1 f ( x 2 ) 2 x xf ( x 2 ). 2 d x 100 100 sin ( x t ) d t ________ sin x 练习： 求 0 dx
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
注意： (1)

b
a
定与不定的区别？ f ( x )dx与 f ( x )dx的区别：

b
a
f ( x )dx是一个确定的常数.
f ( x )dx是fΒιβλιοθήκη ( x )的所有原函数.3
与 i 的取法无关. (2)定积分与区间的分割方法无关， 而与积分变量 (3)积分值仅与被积函数及积分区间有关， 使用什么字母表示无关.即
面积取正号；在x轴下方的面积取负号.
y
y f ( x)
a
A1
A3 A2 O A4
2 3 4 5