第六章 定积分的应用一、应知应会1、 有向区间],[b a (b a <或b a >)。

2、 区间函数U 是一个区间函数(例如，位移是一个时间区间的函数，功是一个位移区间的函数等等)，我们记]),([b a U U =且满足以下条件：（1）U 具有可加性，即对],[b a c ∈∀有：]),([]),([]),([b c U c a U b a U +=；（2）当左端点确定时，]),([x a U 是一个右端点的函数，即]),([)(x a U x F =； （3）增量]),([]),([x a U x x a U U -∆+=∆]),([x x x U ∆+=。

3、元素法(1)若)()(]),([x x f x x x U i ∆+∆=∆+οξ，],[x x x i ∆+∈ξ。

当)(x f 连续时，有： ,)(dx x f dU =⎰==badx x f b a U U )(]),([。

读者分析一下即可看到，当],[)(b a c x f ∈时，]),([)(x a U x F =就是)(x f 的一个原函数，即)()('x f x F =。

(2)正确理解⎰ba dx x f )(在用元素法时，应首先建立适当的坐标系。

在微观世界中 ,)(dx x f dU =是一个以直代曲、以不变代变、以静代动的近似过程。

而宏观则是由 微观堆积而成的,⎰ba dx x f )(就是dxx f )(的叠加过程，其量纲是不变的。

另一方面我们也可以通过dx x f dU )(=建立微分方程。

4、几何应用 (1) 求面积①直角坐标系下，面积||||dx y A ba⎰=。

其中||y 是小条的高，||dx 是小条的宽，||||dx y dA =是小条的面积元，叠加起来就有：||||dx y A ba⎰=(b a <)。

②对于参数方程，dt t t A Tt |)()('|0⎰⋅=ψϕ。

这里⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，T t t ≤≤0，ψϕ,'连续，且b T a t ==)(,)(0ϕϕ(显然②是①转化为参数坐标系下的公式)。

③极坐标系下，⎰=βαθθd r A )(212。

小扇形面积元用圆中扇形面积近似代替即有：θθθd r r dA )()(21=。

④旋转体的侧面积为⎰⋅⋅=Lds y A π2。

我们知道，若水平线段c y =(b x a ≤≤)绕ox 轴旋转一周即得一圆柱面，其侧面积为)(2a b c -⋅⋅π。

若一曲线)(x y 绕ox 轴旋转一周而得到一圆柱面，其侧面积又如何呢？我们可以把曲线的弧微分ds 近似看成水平线段(以直代曲)，这样面积元为yds dA π2=，侧面积⎰⋅⋅=Lds y A π2，在把其化为定积分计算即可。

(2) 求体积①平行截面面积为)(x A (b x a ≤≤)的立 体体积为：⎰=badx x A V )(。

这里小片体积元为dx x A dA )(=，)(x A 是以不变代变。

②旋转体体积。

设连续曲线],[)(b a c x f ∈ 且0)(>x f ，所求立体为曲线)(x f 、直线a x =、b x =及x 轴所围的曲边梯形旋转一周所得，则：（a ）绕ox 轴旋转一周所的立体体积为：⎰=baox dx x f V )(2π。

圆片法：对点],[0b a x ∈ 线段)(0x f 绕ox 轴旋转一周成一圆片且其面积)()(020x f x A π=(以静代动)，所以dx x f dA )(2π=，由①知有(a)式。

（b ）绕oy 轴旋转一周所的立体体积为：⎰=baoy dx x xf V )(2π。

圆筒法：对],[0b a x ∈ 线段)(0x f 绕ox 轴旋转一周成一圆筒且其面积)(2)(000x f x x A π=(以静代动)，所 以dx x xf dV )(2π=，⎰=baoy dx x xf V )(2π。

(3) 求弧长弧微分为22)()(dy dx ds +=，设以下所碰到的函数均为可导且导函数连续，则有：（a ）直角坐标系下dx y ds 2'1+=，其中)(x f y =，0>dx ；（b ）对于参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，其弧微分为dt t t ds 22)(')('ψϕ+=，0>dt ； （c ）在极坐标系下：θd r r ds 22'+=，其中)(θr r =，0>θd 。

求弧长只需把弧微分堆积(做积分)起 来即可，⎰=BAds S 。

(5) 物理应用 ①变力做功设变力)(x f 的方向与位移dx 的方向平行，则dx x f dW )(=(以不变 代变)，⎰=badx x f W )(。

②液体压力设液体的密度为ρ，液体深为x ，则有帕斯卡定律有gx P ρ=，且ydx d =σ，压力元dx x gxy Pydx Pd dF )(ρσ===(两 次以不变代变)，压力⎰=Hdx x gxy F 0)(ρ。

③平均数公式：⎰-=b adx x f ab x f )(1)(。

(6)在极坐标下由βθα≤≤，)(0θr r ≤≤所围区域，绕极轴ρo 旋转所得立体的体 积为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω)(0220sin ϕβαπϕϕϕθr d r d d dV V⎰=βαϕϕϕπd r s i n )(323这里，实际上是将极轴ρo 视为oz 轴后，再用球坐标公式即得上式。

二、典型例题 Ⅰ、几何应用(ⅰ)、直角坐标系下求面积和体积。

例1）当a (40≤≤a )为何值时，两曲线)(32a x x y --=与)()4(a x x a y --=所围成的图形面积最大。

解：⎰----=adx a x x a a A 0)()]4(32[)(⎰-+=adx ax x a 02)()314(6976)314(433aa aa -=+= ⇒2703237)('32=⇒=-=a a a a A25327)27(,7964)4(,0)0(244≈⋅=≈==A A A ∴27=a 时面积最大。

例2）过抛物线2x y =上任意一点),(2a a 作切线，问a 为何值时，使切线与抛物线222++-=x x y 围成的面积最小。

解：切线方程：)(22a x a a y -=-⇒22a ax y -=，设与抛物线交点为21,x x 则：⎩⎨⎧++-=-=22222x x y a ax y ⇒ 02)22(22=---+a x a x ，⇒ a x x 2221-=+，2212a x x --=⋅；面积⎰+-++-=21)222(22x x dx a ax x x S21]23[2223xx x a ax x x x+-++-=))(1(3)(21223231x x a x x -----=))(2(122x x a -++∵122122124)()(x x x x x x -+=-⇒212)(x x -)2(4)22(22a a ----=)322(42+-=a a ⇒3222212+-=-a a x x))((12122122x x x x x x -+=-3222)22(2+--=a a a))((211222123231x x x x x x x x ++-=-]))[((1221212x x x x x x -+-= 22)22[(3222a a a -⋅+-= )]2(2a ---)685(322222+-⋅+-=a a a a∴ 232)322(34)(+-=a a a S设322)(2+-=a a a f ，则24)('-=a a f 所以21=a ，由于04)(''>=a f ，故有最小值25)21(=f 。

因此，当21=a 时，面积最小为23)25(34)(=a S 。

（或者由于)(a f 为向上开口的抛物线，故当212=-=ab x 时取得最小值。

）例3）已知曲线)(x f y =单增，试找出一点),(h a a +∈ξ使该两边阴影部分的面积相等。

如果设x e x f =)(使h a θξ+=，求θ 及θ0lim →h （10<<θ）。

解：由题意有：⎰⎰-=-badxx f b f dx a f x f ξξ)]()([)]()([⇒))(())(()(a a f b b f dx x f ba-+-=⎰ξξξ)]()([)()(b f a f a af b bf -+-=⇒)()()()()(b f a f a af b bf dx x f ba-+-=⎰ξ将h a h a b θξ+=+=,代入后有：=+h a θ)()()()()()(h a f a f a af h a f h a dx x f ha a+-+++-⎰+⇒ )]()([)()(h a f a f h h a hf dx x f ha a+-+-=⎰+θ将x e x f =)(代入有：)(ha aha aha e e h hee e+++---=θ∴)(limlim 0ha aha aha h h ee h hee e+++→→---=θ=212lim10=--+→hheeha h a例4）设)(),(x g x f 可微且)()('x g x f =，0)(,0)0(),()('≠==x g f x f x g 。

求：(1))()()(x g x f x F =；(2)做出)(x F y =的图形；(3)计算)(x F y =，1=y 及0=x ，b x =所围图形的面积。

解：(1))()(')()()(')('2x g x g x f x g x f x F -=)(1)()()(2222x F x g x f x g -=-=解微分方程1)(1)('2=-x F x F 可得：c x x F x F +=-+)(1)(1ln21，0)0(=F 得0=c ，∴xex F x F 2)(1)(1=-+⇒121)(2+-=xex F(2)由)(0)1(4)('222x F e ex F xx ⇒>+=单增故无极值。

由0)1()1(8)(''3222=+-=xxx e e e x F得：0=x ，且当0>x 时0)(''<x F ，故图形上凸；当0<x 时0)(''>x F ，故图形下凸；点)0,0(是拐点。

1)(=+∞F ，)(-∞F =1-，故1±=y 为两条水平渐近线。

综合上述对图形的描述，即做出)(x F y =的图 形(图形略)。