x
y
r
n
.
r
uur n0
nr n
A ,
A2 B2
B .
A2 B2
于是，点M x0 , y0 到直线
l : Ax By C 0的距离等于向量 uuur uur PM在n0方向上射影的长度:
P(x, y) M(x0,y0)
o
x
l: Ax+By+C=0
d
uuur uur PM n0
x0
x,
y0
y
A ,
A2 B2
B
A2 B2
A x0 x B y0 y Ax0 By0 Ax By
A2 B2
A2 B2
又因为P x, y为l上任意一点，所以c Ax By,
故d Ax0 By0 c. A2 B2
特别提醒: 1.在使用该公式前，需将直线方程化为一般式． 2. A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0且B=0时一 般不用此公式计算距离．
几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化.
铁路
仓库
l
仓库
点到直线的距离
一定是垂
l
线段哟！
.M
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. M (x0,y0)
o
x
点到直线的距离公式
已知点M(x0, y0)和直线l:Ax+By+C=0. 则点M到直线 l 的距离d为:
d Ax0 By0 C A2 B2
思考2 如何借助向量的方法来证明点到直线的距离 公式？
证明：M x0, y0 是直线外一定点，
y
P x, y是直线上任意一点，由直 l
线l : Ax By C 0,可以取它的 r
方向向量v=B, A.一般地，称与
直线的方向向量垂直的向量为该
直线的法向量.
o
r n
.
P(x, y)
M(x0,y0)
③P 0,0 , 4x + 7y = 37.
37 65 65
④P -1, -2 , x + y = 0. 3 2 2
⑤P 2,3 , x -1 = 0. 1
⑥P 1,-1 , y + 2 = 0. 1
探究点2 几何中的应用举例
例2 如图,已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，
求证：AD，BE，CF相交于同一点.
C
uuur uuur uur
两式相减，得CH CB CA 0，
uuur uuur
uuur uuur
即CH AB 0,所以CH AB，
D E
H
CH AB,又CF AB,
A
所以C，H，F 三点共线，H 在CF 上.
F
B
思考3 根据例题你能总结一下利用向量法解决平 面几何问题的基本思路吗？
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
o
M (x0,y0)
Q (x0,y1)
x
y (x1,y0) Q
M(x0,y0)
o
x
MQ y0 - y1
x=x1
MQ x0 - x1
例1 求点P 1,2到直线l：2x y 1 0的距离.
解： x0 1, y0 2, A 2,B 1,C 1. 点到直线的距离公式，得
§7 向量应用举例
平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等， 是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由 向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几 何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决 问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践 中去探究、领会和总结.
探究点1 点到直线的距离公式 思考1 用向量方法解决平面几何问题的基本思 路是什么？
思考4 物理中力的合成与分解中体现了向量的哪种 运算? 提示：体现了向量的加减法的运算. 思考5 在物体的运动过程中,是否力越大,做的功就 越多? 提示：不一定.力所做的功不仅取决于力的大小,还和 力与物体运动方向的夹角有关系.
例3 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行 1 000km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A 地的南偏西60°，并且A，C两地相距2 000km，求 飞机从B地到C地的位移.
过点B作东西基线的垂线，交AC于D，
则ΔABD为正三角形.所以BD CD 1 000km，
CBD BCD 1 BDA 30o.所以ABC 90o. 2
BC ACsin60o =2 000
3 =1 000
uuur
3 km,BC=1
000
3km.
2
答：飞机从B地到C地的位移大小是1000 3 km，
方向是南偏西30o .
向量解决航空、航海问题方法： 1.按照题意正确作图. 2.分析图形的边角关系. 3.利用平面几何的知识求出答案.
分析要:求飞机从B地到C地的位移， 北
需要解决两个问题：
⑴利用解三角形的知识求线段BC
B
西
60o
东
的长度.
60o A D
⑵求BC与基线的夹角.
C
南
解：设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意，
uuur
uuur
uuur
AB的方向是北偏西60o，AB km；AC的方向是
uuur
南偏西60o，AC km.所以BAC 60o.
所以AH CB 0,BH CA 0.
uuur uur uuur uuur uuur uur uuur
又 CH CA CB CH CB CA CB 0,
uuur uuur uur uuur uur uuur uur
CH CB CA CH CA CB CA 0，
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题. 3.把运算结果“翻译”成几何元素.
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
探究点3 物理中的应用举例
21 1 2 1
d
5,
22 12
所以点P 1,2到直线l的距离为 5 .
技巧方法: 认清公式的形式，找准每一个变 量代表的数值，准确代入，精确 计算.
课堂练习
求下列各点到相应直线的距离
①P 0,3 ,3x + 4y = 0.
12 5
②P -2,0 , 4x + 3y -1 = 0.
9 5
思路分析
C D
解决此类问题一般是将相关的线 E
段用向量表示，利用向量的三角形 A
H
法则和平行四边形法则，结合题目
F
B
中的已知条件进行运算，得出结果，
再翻译成几何语言 .
证明 :设AD , BE交于点H，以下只需
证明点H在CF上.因为AD BC ,BE CA, uuur uuur uuur uur