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学案4平面向量应用举例


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(3)求夹角问题 利用夹角公式
.
a·b
co θ= s
=
x1x2+y1y2
|a|·b|| x1 2+y1 2· x2 2+y2 2
(4)求线段的长度,可以用向量的线性运算,向量的
模|a|= a·a= x2+或y2|AB|=|AB|=
.
(5)直线的倾(x 斜2-x角1)2、+(斜y 2率-y1与)2平行于该直线的向量之间
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1.向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量
平行(共线)的充要条件
a∥b ⇔a = λ b ⇔ x 1 y 2-x 2 y 1= 0≠ (0 b) .
(2)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件
⇔ a⊥b
a= ·0 b ⇔ x 1 x 2+ y 1 y 2= 0
.
π
<2 θ<
π
.2
(1)若a⊥b,求θ;
(2)求|a+b|的最大值.
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⇒ ⇒ (1)a⊥b
⇒ a·b=0 sinθ+cosθ=0 θ=- . π 4
(2)|a+b| = (sinθ+1)2 +(coθs+1)2
= sin2θ+2siθn+1+co2sθ+2coθs+1
π = 2(siθn+coθs)+3= 2 2sinθ(+ )+3.
学案4 平面向量应用举例
向量的 应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何 问题.
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其 他一些实际问题.
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在前几年的高考命题中,主要考查用向量知识解决夹 角和距离问题,随着新课标的推行和普及,在高考命题中, 本学案内容将会越来越受重视,用向量知识解决物理问 题,进行学科之间的交叉和渗透也是将来的一种命题趋 势.
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【评析】本题主要以向量作为载体,实质上 是考查三角中的求值问题,注意倍角公式的 运用.
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【解析】
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考点2 向量在三角函数中的应用
已知向量m=(2sinx,cosx),n=( 3 cosx,2cosx),定义 函数f(x)=loga(m·n-1)(a>0,且a≠1). (1) 求函数f(x)的最小正周期; (2)确定函数f(x)的单调递增区间.
【分析】 (1)利用圆心到直线的距离求出r. (2)设点利用坐标求取值范围.
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【解析】(1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x-
3 y=4 的距离,即r=
4 =2,得圆O的方程为
1 3
x2+y2=4.
(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.
由x2=4,得A(-2,0),B(2,0).
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【分析】 通过向量的数量积运算得到一个复合函数
f(x)=loga〔 2sin(2x+
π 6
) 〕,根据复合函数的单调性进行
解决.
【解析】 (1)因为m·n=2 3 sinxcosx+2cos2x
=
3
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
π 6
)+1,
所以f(x)=loga 〔
2sin(2x+
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【评析】 向量与解析几何的综合是高考中的热点,主要题 型有:①向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何 问题的结合;②将向量作为描述问题或解决问题的工具; ③以向量的坐标运算为手段,考查直线与圆锥曲线相交、 轨迹等问题.
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当sin(θ+
π 4
)=1时,|a+b|有最大值,此时θ=
π4,最大值
为 2 2+3= 2+.1
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考点3 向量在解析几何中的应用 在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x- 3 y=4相切. (1)求圆O的方程; (2)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB| 成等比数列,求PA·PB的取值范围.
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当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为
π
( kπ- 12 ,kπ+
π 6
〕,k∈Z.
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【评析】 这类问题主要是向量与三角知识点的综合.解 决问题的主要方法是: 通过向量的运算把问题转化为三 角问题,再利用三角函数的知识解决.
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已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-
;过点P(x0,y0)且与向量
a=(a1,a2)垂直的直线方程为 a1x+a2y-a2y0-a1x0=0 .
(6)两条直线的夹角
已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0, 则n1=(A1,B1)与l1垂直,n2=(A2,B2)与l2垂直,则l1和l2的 夹角便是n1与n2的夹角(或其补角).
设P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,
得 ( x22 )y2 (-x 22 )y2x2y2,
即x2-y2=2.
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PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).
由于点P在圆O内,故
x2+y2<4 x2-y2=2,
由此得y2<1.
所以PA·PB的取值范围为[-2,0).
的关系
①设直线l的倾斜角为α,斜率为k,向量a=(a1,a2)
平行于l,则k=
;如果已知直线的斜率
k= a 2 ,则向量(a1,ata2n)与α =向aa12量(1,k)一定都与l
. 平行
a1
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②与a=(a1,a2)平行且过P(x0,y0)的直线方程
为 a2x-a1y+a1y0-a2x0=0
设l1与l2的夹角是θ,则有cosθ= |cos<n1,n2>|
n1·n2 = A1A2+B1B2
=
|n1|·n|2| A12+B12· A2 2+B2 2
.
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2.向量在物理中的应用 (1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用. (2)向量在速度的分解与合成中的应用.
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考点1 以向量为载体的综合问题
π 6
)

,故T=Biblioteka 2π 2=π.编辑ppt
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(2)令g(x)=2sin(2x+ π ),
6
则g(x)单调递增的正值区间是( kπ- π ,kπ+ π 〕,k∈Z,
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6
g(x)单调递减的正值区间是〔kπ+ π ,kπ+ 5 π) ,k∈Z.
6
12
∴当0<a<1时,函数f(x)的单调递增区间为
〔kπ+ π ,kπ+ 5 π ),k∈Z;
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