高考正弦定理和余弦定理练习题及答案
一、选择题
1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3
B. 2 3
C. 3 3
D. 3＋1 答案：B
解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°.
由余弦定理可得b ＝2 3.
2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝
22，则符合条件的三角形有( ) A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 0个
答案：B
解析：∵a sin B ＝102， ∴a sin B <b ＝3<a ＝5，
∴符合条件的三角形有2个．
3．(2010·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
答案：A
解析：利用正弦定理，sin C ＝23sin B 可化为c ＝23b .
又∵a 2－b 2＝3bc ，
∴a 2－b 2＝3b ×23b ＝6b 2，即a 2＝7b 2，a ＝7b .
在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
＝b 2＋(23b )2－(7b )22b ×23b
＝32， ∴A ＝30°.
4．(2010·湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
答案：A
解析：由正弦定理，得c sin120°＝a sin A ， ∴sin A ＝a ·3
22a ＝64>1
2.
∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b .
5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. 5
18 B. 3
4
C. 3
2 D. 7
8
答案：D
解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，
∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝7
8.
方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1
4，
∴cos α＝1－2sin 2α
2
＝1－2×116＝7
8.
6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于(
) A. 3
2 B. 3
4
C. 3
2或 3 D. 32或3
4
答案：D
解析：∵sin C 3＝sin B
1，
∴sin C ＝3·sin30°＝3
2.
∴C ＝60°或C ＝120°.
当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12×1×3＝32
， 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×1×3sin30°＝34
. 即△ABC 的面积为
32或34. 二、填空题
7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3
，则a ＝________. 答案：1
解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3
，sin B ＝12. 又b <c ，∴B ＝π6，∴A ＝π6
.∴a ＝1. 8．(2010·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
答案：π6
解析：∵sin B ＋cos B ＝2，
∴sin(B ＋π4
)＝1. 又0<B <π，∴B ＝π4. 由正弦定理，知2sin A ＝2sin B ，∴sin A ＝12
. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6
. 9. (2010·课标全国卷)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12
DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.
答案：60° 解析：S △ADC ＝12×2×DC ×32
＝3－3， 解得DC ＝2(3－1)，
∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．
在△ABD 中，AB 2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos120°＝6，
∴AB ＝ 6.
在△ACD 中，AC 2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos60°＝24－123， ∴AC ＝6(3－1)，
则cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 2
2AB ·AC
＝6＋24－123－9(4－23)2×6×6×(3－1)＝12， ∴∠BAC ＝60°. 三、解答题
10. 如图，△OAB 是等边三角形，∠AOC ＝45°，OC ＝2，A 、B 、C 三点共线．
(1)求sin ∠BOC 的值；
(2)求线段BC 的长．
解：(1)∵△AOB 是等边三角形，∠AOC ＝45°，
∴∠BOC ＝45°＋60°，
∴sin ∠BOC ＝sin(45°＋60°)
＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°
＝2＋64
. (2)在△OBC 中，OC sin ∠OBC ＝BC sin ∠BOC
， ∴BC ＝sin ∠BOC ×
OC sin ∠OBC ＝2＋64×2sin60°＝1＋33
. 11. (2010·全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513
，cos ∠ADC ＝35
，求AD . 解：由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2
， 由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45
， 从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )
＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B
＝45×1213－35×513＝3365
. 由正弦定理得AD sin B ＝BD sin ∠BAD
， AD ＝BD ·sin B sin ∠BAD
＝33×5133365
＝25. 12. (2010·安徽卷)设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并
且sin 2A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭
⎫π3－B ＋sin 2B . (1)求角A 的值；
(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b <c )．
解：(1)因为sin 2A ＝⎝⎛⎭
⎫32cos B ＋12sin B ⎝⎛⎭
⎫32cos B －12sin B ＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34， 所以sin A ＝±32. 又A 为锐角，所以A ＝π3
. (2)由AB →·AC →＝12，可得cb cos A ＝12.①
由(1)知A ＝π3
，所以cb ＝24.② 由余弦定理知a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，将a ＝27及①代入，得c 2＋b 2＝52，③ ③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，
所以c ＋b ＝10.
因此c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根．
解此方程并由c >b 知c ＝6，b ＝4.
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