1 2 3
4 5 6 7 8 9
多目标规划
对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z λ2W = 0.7 Z 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 ≥ 2
Hale Waihona Puke x3 + x5 + x6 + x8 + x9 ≥ 3
x4 + x6 + x7 + x9 ≥ 2
0-1规划模型 规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件 先修课程要求 x3=1必有 1 = x2 =1 必有x 必有
0-1规划模型 规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学； 数学；运筹学 数学； 数学；计算机 数学； 数学；运筹学 计算机； 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学； 运筹学；计算机
Min {Z , W }
最优解如上， 门课 最优解如上，6门课 总学分21 程，总学分 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。 门课程
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。 多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
多目标规划
9
在课程最少的前提下 学分最多为目标。 以学分最多为目标。
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
模型求解（ 模型求解（LINDO） ） 最优解： 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为 ；6门课程，总学分 其它为0； 门课程 总学分21 门课程，
x8 x5 ≤ 0
2 x9 x1 x 2 ≤ 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 课程最少 学分最多
微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分； 微积分；线性代数
要求至少选两门数学课、 要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少， 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多， 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
Z = ∑ xi
i =1
9
W = 5x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 3x9
最优解： 最优解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， ， 其它为0；总学分28。 其它为 ；总学分 。
λ1 > 3 / 4
最优解与 的结果相同——课程最少 最优解与λ1=1，λ2=0的结果相同 ， 的结果相同 课程最少
案例11 选课策略 案例
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3 所属类别 数学 数学 数学； 数学；运筹学 数学； 数学；计算机 数学； 数学；运筹学 计算机； 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学； 运筹学；计算机 先修课要求
1 2 3
4 5 6 7 8 9
微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分； 微积分；线性代数
x3 ≤ x1 , x3 ≤ x 2
2 x3 x1 x 2 ≤ 0
x4 ≤ x7 x4 x7 ≤ 0
2 x 5 x1 x 2 ≤ 0 x6 x7 ≤ 0
多目标规划
Min Y = λ1 Z λ 2W
讨论与思考
λ1 + λ2 = 1, 0 ≤ λ1 , λ2 ≤ 1
W = 5x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 3x9
Z = ∑ xi
i =1
9
λ1 < 2 / 3
最优解与 的结果相同——学分最多 最优解与λ1=0，λ2=1的结果相同 ， 的结果相同 学分最多
决策变量 xi=1 ~选修课号 的 选修课号i 选修课号 课程（ 不选） 课程（xi=0 ~不选） 不选 目标函数 选修课程总数最少
Min
Z = ∑ xi
i =1
9
约束条件
最少2门数学课， 最少 门数学课， 门数学课 3门运筹学课， 门运筹学课， 门运筹学课 2门计算机课。 门计算机课。 门计算机课
Min
Z = ∑ xi
i =1
9
Max W = 5x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 3x9
两目标(多目标) 两目标(多目标)规划
以课程最少为目标， 以课程最少为目标 为目标， 不管学分多少。 不管学分多少。 以学分最多为目标， 学分最多为目标， 不管课程多少。 不管课程多少。
增加约束
∑
i =1
xi = 6，
以学分最多为目标求解。 以学分最多为目标求解。 最优解： 最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总 其它为0； 学分由21增至 增至22。 学分由 增至 。 注意：最优解不唯一！ 注意：最优解不唯一！ 易为 可将x9 =1 易为x6 =1 可将 LINDO无法告诉优化 无法告诉优化 问题的解是否唯一。 问题的解是否唯一。