课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
增加约束

9
xi 6，
i 1
以学分最多为目标求解。
最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总 学分由21增至22。
案例11 选课策略
课号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
课名
微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
学分
5 4 4 3 4 3 2 2 3
所属类别
数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
先修课要求
i 1
1 2 / 3
最优解与1=0，2=1的结果相同——学分最多
1 3 / 4
最优解与1=1，2=0的结果相同——课程最少
决策变量
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
Min Z

9
xi
i 1
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 2
x3 x5 x6 x8 x9 3
x4 x6 x7 x9 2
1 2 3
4 5 6 7 8 9
注意：最优解不唯一！
可将x9 =1 易为x6 =1 LINDO无法告诉优化 问题的解是否唯一。
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y 1 Z 2W 0 . 7 Z 0 . 3W
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x 3 x1 , x 3 x 2
2 x 3 x1 x 2 0
x4 x7
应用统计 微积分；线性代数

最优解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， 其它为0；总学分28。
多目标规划
Min Y 1 Z 2W
讨论与思考
1 2 1,
0 1 , 2 1
Z

9
xi
W 5 x1 4 x 2 4 x 3 3 x 4 4 x 5 3 x6 2 x7 2 x8 3 x9
1 2 3
4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程
x4 x7 0
2 x 5 x1 x 2 0
模型求解（LINDO） 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21
x6 x7 0
x8 x5 0
2 x 9 x1 x 2 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
Min Z
学分最多
Max

9
xi
W 5 x1 4 x 2 4 x 3 3 x 4 4 x 5 3 x 6 2 x 7 2 x8 3 x9
i 1
两目标(多目标)规划
• 以课程最少为目标， 不管学分多少。 • 以学分最多为目标， 不管课程多少。
Min { Z , W }
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
最优解如上，6门课 程，总学分21 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
Z

9
xi
i 1

W 5 x1 4 x 2 4 x 3 3 x 4 4 x 5 3 x6 2 x7 2 x8 3 x9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代数
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机