天津高二上数学期末考试真题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线22x ﹣y 2＝1的焦点坐标为（ ）A ．（﹣3，0），（3，0）B ．（0，﹣3），（0，3）C ．（﹣3，0），（3，0）D ．（0，﹣3），（0，3） 2．命题“∃x 0∈（0，+∞），使得e ＜x0”的否定是（ ）A ．∃x 0∈（0，+∞），使得e ＞x0B ．∃x 0∈（0，+∞），使得e≥x0C ．∀x ∈（0，+∞），均有e x ＞xD ．∀x ∈（0，+∞），均有e x ≥x 3．若复数1iz i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数＝（ ） A ．1+iB ．﹣1+iC ．l ﹣iD ．﹣1一i4．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x 2＞x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设公比为﹣2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝112，则a 4等于（ ） A ．8B ．4C ．﹣4D ．﹣86．已知函数f （x ）＝lnx ﹣212x ，则f （x ）（ ）A ．有极小值，无极大值B ．无极小值有极大值C ．既有极小值，又有极大值D ．既无极小值，又无极大值7．在数列{a n }中，a 1＝3，a n+1＝2a n ﹣1（n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．a n ＝2n +1 B ．a n ＝4n ﹣1 C ．a n ＝2n +1 D ．a n ＝2n ﹣1+28．在空间四边形ABCD中，向量AB＝（0，2，﹣1），AC＝（﹣1，2，0），AD ＝（0﹣2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为（）A．13B．223C．－13D．－2239．已知双曲线2222x ya b＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为（）A．B．C．＝1 D．＝110．已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，且满足f′（x）+f（x）＜0，设g（x）＝e x•f（x），若不等式g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．曲线f（x）＝2x+在点（1，3）处的切线方程为．12．已知向量＝（2，﹣1，3）与＝（3，λ，）平行，则实数λ的值为．13．已知a，b均为正数，4是2a和b的等比中项，则a+b的最小值为．14．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝2，S9＝6a8，则数列{}的前10项的和为．15．已知离心率为的椭圆＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若＝0，且△PF1F2的面积为4，则椭圆的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤．16．（12分）已知复数z＝（m2+2m）+（m2﹣2m﹣3）i，m∈R（i为虚数单位）．（Ⅰ）当m＝1时，求复数的值；（Ⅱ）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（n∈N*），正项等比数列{b n}满足b1＝a1，b5＝a6．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；＝a n•b n，求数列{∁n}的前n项和T n．（Ⅱ）设∁n18．（12分）如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2．1（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l：y＝x+m（m为常数）与C交于不同的两点A和B，且＝，其中O为坐标原点，求线段AB的长．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+x，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[，2]上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）当m＜0时，试判断函数g（x）＝其中f′（x）是f（x）的导函数）是否存在零点，并说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．20x y -+= 12．32- 13．14．51215．221124x y += 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）解：（Ⅰ）当1m =时，34z i =-,3417122i i i -==--+. ………….……………6分（Ⅱ）∵复数z 在复平面内对应的点位于第二象限,∴2220230m m m m ⎧+<⎨-->⎩ …………………………………………9分解得21m -<<-，所以m 的取值范围是(2,1)--. …………………………………12分17．（12分） 解：（Ⅰ）当2n ≥时1n n n a S S -=-，2233(1)(1)22n n n n ----=-32n =-， …….…………………………3分 当1n =时，111a S ==也适合上式,∴32n a n =-. …….…………………………4分∴11b =，516b =.设数列{}n b 的公比为q ，则416q =. ∵0q >，∴2q =，∴12n n b -= ……………………………………7分 （Ⅱ）由（1）可知，1(32)2n n c n -=-⋅，∴12n n T c c c =+++22114272(35)2(32)2n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ①，21212422(35)2(32)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ②， ……9分由①－②得，2113(222)(32)2n n n T n --=+⨯+++--⋅11分 ∴5(35)2n n T n =+-⋅. ………………………………12分18．（12分）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，()0,2,0C ，()10,0,4A ，()12,0,2B ，()10,2,1C . ………………1分 （Ⅰ）证明：1(2,2,1)BC =-，1(0,2,4)AC =-，(2,0,0)AB = ∵110440BC AC ⋅=+-=， 10000AB AC ⋅=++=， 所以11BC AC ⊥,1AB A C ⊥. ∵1AB BC B =,∴1AC ⊥平面1ABC . .…………………5分z（Ⅱ）由题意可知，1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥AC 又∵AB AC ⊥，1ABAA A =,∴AC ⊥平面ABC .∴平面1ABB 的一个法向量为(0,2,0)AC =. .……………………7分 ∵11(2,0,2)A B =-，11(0,2,3)AC =-, 设平面111A B C 的一个法向量为n (,,)x y z =，则1111220230A B n x z AC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =, 所以平面111A B C 的一个法向量为n (2,3,2)=， .……………………9分 317,17AC n AC n AC n⋅==……………………11分 显然二面角111B A B C --为锐二面角, ∴二面角111B A B C --的余弦值为17. …………………………12分 19．解：（12分）（Ⅰ）由题意可知：22a =，21b =, ∴2221c a b =-=,………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 得2234220x mx m ++-=，()2221612222480m m m =--=->.……………………5分则1243mx x +=-，212223m x x -=,()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++223m -=. ……………………7分又∵23OA OB ⋅=. ∴2121243y y x x m +=-, 即：24233m -=. ……………………9分∴线段AB 的长为43. ……………………………12分 20．（12分）解：（Ⅰ）当1a =时，3223()32f x x x x =-+, 2()231f x x x '=-+,令()0f x '=得12x =或1x =. ……………………1分 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表:∴min 19()(1)6f x f =-=-,max 15()()224f x f ==. ……………………4分（Ⅱ）2()2(2)1f x x a x '=-++∵()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数,∴2()2(2)10f x x a x '=-++≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立. ………5分即：min 12(2)a x x +≤+.∵，∴当且仅当时，成立.∴. ……………………7分 （Ⅲ）由题意可知，. ……………………8分要判断是否存在零点，只需判断方程在内是否有解，即要判断方程在内是否有解.设, ………………10分 , 可见，当时，在上恒成立. ∴在上单调递减，在上单调递减.∵,∴在和内均无零点. …………………12分。