第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1．1 倾斜角与斜率【知识点归纳】1.直线的倾斜角：2.直线的斜率：3.直线的斜率公式：【典型例题】题型一求直线的倾斜角例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）.A. 60°B. 30°C. 60°或120°D. 30°或150°变式训练：设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则的倾斜角为（）。
A. B. C.D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为题型二求直线的斜率例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值.题型三直线的倾斜角与斜率的关系例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）.A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2拓展一三点共线问题例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．变式训练:若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）.A． B． C． D．拓展二与参数有关问题例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围.变式训练：已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.拓展三利用斜率求最值例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。
变式训练：利用斜率公式证明不等式：且3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【知识点归纳】1.直线平行的判定2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）：【典型例题】题型一两条直线平行关系例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）.A．4 B．1 C．1或3 D．1或4题型二两条直线垂直关系例 2 已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标．变式训练：（1）的倾斜角为45°，经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？（2）直线的斜率是方程的两根，则的位置关系是 .题型三根据直线的位置关系求参数例 3 已知直线经过点A(3,a)、B（a-2,-3）,直线经过点C（2，3）、D（-1，a-2）,（1）如果//，则求a的值；（2）如果⊥，则求a的值题型四直线平行和垂直的判定综合运用例4 四边形ABCD的顶点为、、、，试判断四边形ABCD的形状.变式训练：已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．探点一数形结合思想例 5 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上. （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.探点二分类讨论思想例6 的顶点，若为直角三角形，求m的值.3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【知识点归纳】1.直线的点斜式方程：2.直线的斜截式方程：【典型例题】题型一求直线的方程例1 写出下列点斜式直线方程：（1）经过点，斜率是4；（2）经过点，倾斜角是.例 2 倾斜角是，在轴上的截距是3的直线方程是 .变式训练：1. 已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则直线l的方程为2. 已知直线在轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程.3.将直线绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是 .题型二利用直线的方程求平行与垂直有关问题例 3 已知直线的方程为的方程为，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的方程。
探究一直线恒过定点或者象限问题例 4. 已知直线.（1）求直线恒经过的定点；（2）当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.探究二直线平移例5 已知直线l：y=2x-3 ，将直线l向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为__________________3.2.2 直线的两点式方程【知识点归纳】1.直线的两点式方程：2.直线的截距式方程：【典型例题】题型一求直线方程例 1 已知△顶点为，求过点且将△面积平分的直线方程.变式训练：1.已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）.A． B． C． D．2.已知，则过点的直线的方程是（）.A. B. C. D.例 2求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式训练：已知直线l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为题型二直线方程的应用例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并说明自变量x的取值范围；（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？探究一直线与坐标轴围成的周长及面积例 4 已知直线过点，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线的方程．探究二有关光的反射例 5 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.变式训练：已知点、，点P是x轴上的点，求当最小时的点P的坐标．3.2.3 直线的一般式方程【知识点归纳】1．直线的一般式：2．直线平行与垂直的条件：【典型例题】题型一灵活选用不同形式求直线方程例1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点（3，－2）、（5，－4）.题型二直线不同形式之间的转化例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点.题型三直线一般式方程的性质例3直线方程的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.变式训练：已知直线。
（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围。
题型四运用直线平行垂直求参数例 4 已知直线：，：，问m为何值时：（1）；（2）.变式训练：（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.题型五综合运用例 5 已知直线，，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标：2.两点间的距离公式：【典型例题】题型一求直线的交点坐标例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线l1: 2x－3y+10=0 , l2: 3x+4y－2=0；（2）直线l1: , l2: .题型二三条直线交同一点例 2 若三条直线相交于一点，则k的值等于变式训练：1.设三条直线：交于一点，求k的值2.试求直线关于直线:对称的直线l的方程.题型三求过交点的直线问题例 3 求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程.变式训练：已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.题型四两点间距离公式应用例 4 已知点且，则a的值为变式训练：在直线上求一点，使它到点的距离为５，并求直线的方程.题型五三角形的判定例 5已知点，判断的类型．探究一直线恒过定点问题例 6 已知直线. 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.变式训练：若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的倾斜角的取值范围.探究二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）例 7 直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.变式训练：已知，点为直线上的动点．求的最小值，及取最小值时点的坐标．3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离【知识点归纳】1.点到直线的距离：2.两条平行间直线的距离：拓展：点关于点、直线对称点的求法【典型例题】题型一利用点到直线距离求参数例 1 已知点到直线的距离为1，则a=（）.A． B．－ C． D．题型二利用点到直线距离求直线的方程例 2 求过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.变式训练：直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到的距离相等，则直线的方程是题型三利用平行直线间的距离求参数例 3若两平行直线和之间的距离为，求的值.变式训练：两平行直线间的距离是（）.A. B. C. D.题型四利用平行直线间的距离求直线的方程例 4 与直线平行且与的距离2的直线方程是题型五点、直线间的距离的综合运用例 5 已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．探究一与直线有关的对称问题例 6 △ABC中，. 求∠A的平分线AD所在直线的方程.变式训练：1.与直线关于点（1，-1）对称的直线方程是2．求点A（2，2）关于直线的对称点坐标探究二与距离有关的最值问题例7 在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离.变式训练：在直线上求一点P，使得：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。