2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(四)23.已知函数()3223log 32a f x x x x =-+(0a >且1a ≠). (Ⅰ)若()f x 为定义域上的增函数,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)令a e =,设函数()()324ln 63g x f x x x x =--+,且()()120g x g x +=,求证:122x x +≥24.已知函数()2x f x e x ax =--. (1)R x ∈时,证明:1->x e x;(2)当2a =时,直线1y kx =+和曲线()y f x =切于点()(),1A m n m <,求实数k 的值; (3)当10<<x 时,不等式()0>x f 恒成立,求实数a 的取值范围.25.已知函数()ln af x a x x x=-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围;(2)记()f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ,若不等式()()()21212f x f x x x l +>+恒成立,求实数l 的取值范围.26.已知函数()1ln f x ax x =--(a ∈R ). (1)讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由;(2)若1x ∀>,()2xf x ax ax a <-+恒成立,求a 的最大整数值.27.已知函数()()()()221,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈.(1)求函数()()()h x f x g x =-的极值;(2)当0a >时,若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立,求实数a 的取值范围.28.设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等的实根,且()22f x x '=+. (1)求()y f x =的表达式;(2)若直线()01x t t =-<<,把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.29.已知函数()1ln 2f x x x =+(a ∈R ). (1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()2,3,求a 的值; (2)若()f x 在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值点,判断该极值点是极大值点还是极小值点,并求a 的取值范围;(3)若当0x >时,()0f x >恒成立,求a 的取值范围.30.已知函数()ln f x x a =+,()(),bg x x a b R x=-?. (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点()()1,1f 处的切线方程相同,求实数,a b 的值; (2)若()()x g x f ≥恒成立,求证:当2≠a 时,1≠b .31.()2xf x e ax =--,其中e 是自然对数的底数,a R ∈.(1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)若k 为整数,1a =,且当0x >时,()11k xf x x -'<+恒成立,其中()f x '为()f x 的导函数,求k 的最大值.32.已知f (x )=2x ln x ,g (x )=﹣x 2+ax ﹣3. (1)求函数f (x )的单调区间;(2)若存在x ∈(0,+∞),使f (x )≤g (x )成立,求实数a 的取值范围.33.已知数列{x n }按如下方式构成:x n ∈(0,1)(n ∈N *),函数f (x )=ln (x x-+11)在点(x n ,f (x n ))处的切线与x 轴交点的横坐标为x n +1 (Ⅰ)证明:当x ∈(0,1)时,f (x )>2x (Ⅱ)证明:x n +1<x n 3(Ⅲ)若x 1∈(0,a ),a ∈(0,1),求证:对任意的正整数m ,都有log n x a +log 1+n x a +…+log m n x +a <21•(31)n ﹣2(n ∈N *)34.已知函数f (x )= ⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-]3,1[),1(55]1,0[,2x x f x x x(Ⅰ)求f (25)及x ∈[2,3]时函数f (x )的解析式 (Ⅱ)若f (x )≤xk对任意x ∈(0,3]恒成立,求实数k 的最小值.35.已知函数1()(2)a f x a x x a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,其中0a ≠. (Ⅰ)若1a =,求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值. (Ⅱ)解关于x 的不等式()0f x >.36.若实数x ,y ,m 满足x m y m-<-,则称x 比y 靠近m .(Ⅰ)若1x +比x -靠近1-,求实数x 有取值范围.(Ⅱ)(i )对0x >,比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0,并说明理由. (ii )已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+,证明:1232e n a a a a <L .37.已知函数2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-(e 是自然对数的底数,a 为常数). (1)若函数1()()()2g x f x x f x '=-⋅,在区间[1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围.(2)当(e 2,1)a ∈-时,判断函数()f x 在(0,1)上是否有零点,并说明理由.38.已知函数()ln f x x x =. (1)求函数()f x 的极值点.(2)设函数()()(1)g x f x a x =--,其中a ∈R ,求函数()g x 在[1,e]上的最小值.39.已知函数1()ln 2f x x x=-,(0,)x ∈+∞. (1)求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程. (2)求函数()f x 的单调递增区间.40.设m ∈R ,函数f (x )=e x ﹣m (x +1)+41m 2(其中e 为自然对数的底数)(Ⅰ)若m =2,求函数f (x )的单调递增区间;(Ⅱ)已知实数x 1,x 2满足x 1+x 2=1,对任意的m <0,不等式f (x 1)+f (0)>f (x 2)+f (1)恒成立,求x 1的取值范围;(Ⅲ)若函数f (x )有一个极小值点为x 0,求证f (x 0)>﹣3,(参考数据ln6≈)41.已知函数f (x )=x 2﹣x 3,g (x )=e x﹣1(e 为自然对数的底数). (1)求证:当x ≥0时,g (x )≥x +21x 2; (2)记使得kf (x )≤g (x )在区间[0,1]恒成立的最大实数k 为n 0,求证:n 0∈[4,6].42.设函数3211()(3)332f x x ax a x =++++,其中a R ∈,函数()f x 有两个极值点12,x x ,且101x ≤<.(1)求实数a 的取值范围;(2)设函数'1()()()x f x a x x ϕ=--,当12x x x <<时,求证:|()|9x ϕ<.43.已知14)(2+-=x tx x f 的两个极值点为α,β,记A (α,f (α)),B (β,f (β))(Ⅰ)若函数f (x )的零点为γ,证明:α+β=2γ. (Ⅱ) 设点 C (m t -4,0),D (m t+4,0),是否存在实数t ,对任意m >0,四边形ACBD 均为平行四边形.若存在,求出实数t ;若不存在,请说明理由.44.已知函数ln (),xf x x=() (0)=>g x kx k ,函数{}()max (),(),F x f x g x =其中{}max ,a b ,,,.a a b b a b ≥⎧=⎨<⎩(Ⅰ)求()f x 的极值;(Ⅱ)求()F x 在[]1, e 上的最大值(e 为自然对数底数).45.已知函数2()2ln ,f x x a x a R =+∈.(Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值;(Ⅱ)若不等式()0f x >对任意[1,)x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案23.(Ⅰ),由为增函数可得,恒成立,则由,设,则,若由和可知在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,当时,易知,当时,则,这与矛盾,从而不能使恒成立,所以.(Ⅱ),因为,所以,所以,,,所以,令,,,在上增,在上减,,所以,整理得,解得或(舍),所以得证.24.(1)记,∵,令得,当,,递减;当,,递增,∴,,得.(2)切点为,,则,∴,∵,∴由(1)得.所以.(3)由题意可得恒成立,所以,下求的最小值,,由(1)知且.所以,递减,∵,∴.所以.25.(1).由函数(为常数)有两个不同的极值点.即方程有两个不相等的正实根.∴,∴.(2)由(1)知,,,∴,所以恒成立.令,.∵,递增,∴,.26.(1)的定义域为,且.当时,在上恒成立,函数在上单调递减.∴在上没有极值点;当时,令得;列表所以当时,取得极小值.综上,当时,在上没有极值点;当时,在上有一个极值点.(2)对,恒成立等价于对恒成立,设函数(),则(),令函数,则(),当时,,所以在上是增函数,又,,所以存在,使得,即,且当时,,即,故在在上单调递减;当时,,即,故在上单调递增;所以当时,有最小值,由得,即,所以,所以,又,所以实数的最大整数值为3.27.(I)由题意得,,∴,①当时,则,此时无极值;②当时,令,则;令,则;∴在上递减,在上递增;∴有极小值,无极大值;(II)当时,由(1)知,在上递减,在上递增,且有极小值.①当时,,∴,此时,不存在实数,,使得不等式恒成立;②当时,,在处的切线方程为,令,,则,,令,,则,令,则;令,则;∴,∴,∴,当,时,不等式恒成立,∴符合题意. 由①,②得实数的取值范围为.28.(I)设,则.由已知,得,..又方程有两个相等的实数根,,即.故;(II)依题意,得,,整理,得,即,.29.(1)对求导,得.因此.又,所以,曲线在点处的切线方程为.将,代入,得.解得.(2)的定义域为..设的一个极值点为,则,即.所以.当时,;当时,.因此在上为减函数,在上为增函数.所以是的唯一的极值点,且为极小值点.由题设可知.因为函数在上为减函数,所以,即.所以的取值范围是.(3)当时,恒成立,则恒成立,即对恒成立.设,求导得.设(),显然在上为减函数.又,则当时,,从而;当时,,从而.所以在上是增函数,在上是减函数.所以,所以,即的取值范围为.30.(1)由,.得,解得,.(2)证明:设,则,①当时,,函数在上单调递增,不满足恒成立.②当时,令,由,得,或(舍去),设,知函数在上单调递减,在上单调递增,故,即,得.又由,得,所以,令,.当时,,函数单调慈善当时,,函数单调递增;所以,即,故当时,得.31.(1),若,则恒成立,所以在区间上单调递增若,当时,,在上单调递增(2)由于,所以,当时,故,令()则函数在上单调递增,而,,所以在上存在唯一的零点.故在上存在唯一的零点.设此零点为,则.当时,,当时,;所以在上的最小值为,由于,可得所以,所以整数的最大值为2.32.【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)问题等价于a≥(2ln x+x+)min,记h(x)=2ln x+x+,x∈(0,+∞),根据函数的单调性判断即可.【解答】解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2(ln x+1),令f′(x)=0,得x=,当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0,所以f(x)在上单调递减;在上单调递增.(2)存在x∈(0,+∞),使f(x)≤g(x)成立,即2xln x≤﹣x2+ax﹣3在x∈(0,+∞)能成立,等价于a≥2ln x+x+在x∈(0,+∞)能成立,等价于a≥(2ln x+x+)min.记h(x)=2ln x+x+,x∈(0,+∞),则h′(x)=+1﹣==.当x∈(0,1)时,h′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,所以当x=1时,h(x)取最小值为4,故a≥4.33.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;数列与函数的综合.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,根据函数的单调性求出f(x)>2x即可;(Ⅱ)求出函数f(x)的导数,求出曲线方程,得到x n+1=ln(﹣1)+x n,从而证出结论即可;(Ⅲ)得到b k=<a=b k﹣1<b k﹣2<…<b0,问题转化为b0<,根据(Ⅱ)证出即可.【解答】证明:(Ⅰ)设g(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2x,则g′(x)=,故x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数g(x)在(0,1)递增,∴g(x)>g(0)=0,即f(x)>2x;(Ⅱ)由f′(x)=+=,故曲线在点(x n,f(x n))处的切线方程是:y=(x﹣x n)+f(x n),令y=0,则x n+1=x n+f(x n)(﹣1),则x n+1=ln(﹣1)+x n,由(Ⅰ)及﹣1<0得:x n+1<(2x n)•(﹣1)+x n=x n3;(Ⅲ)令=b k,(k=0,1,2,…,m),∵x n+k<,且a∈(0,1),x n∈(0,1),∴log a x n+k>log a,从而b k=<a=b k﹣1<b k﹣2<…<b0,∴loga+loga+…+loga=b0+b1+…+b m<b0(1+++)=b0(1﹣)<b0,要证loga+loga+…+loga<•()n﹣2(n∈N*),只需b0<,即证b0<⇔a<⇔x n<,由(Ⅱ)以及x 1∈(0,a )得:x n <<<…<<,故原结论成立.34.【考点】函数恒成立问题;分段函数的应用.【分析】(Ⅰ)由函数f (x )=可求f ()的值,由x∈[2,3]⇒x ﹣2∈[0,1],可求得此时函数f (x )的解析式;(Ⅱ)依题意,分x∈(0,1]、x∈(1,2]、x∈(2,3]三类讨论,利用导数由f (x )≤对任意x∈(0,3]恒成立,即可求得实数k 的最小值.【解答】解:(Ⅰ)f ()=﹣f ()=f ()=×=.当x∈[2,3]时,x ﹣2∈[0,1],所以f (x )= [(x ﹣2)﹣(x ﹣2)2]=(x ﹣2)(3﹣x ).(Ⅱ)①当x∈(0,1]时,f (x )=x ﹣x 2,则对任意x∈(0,1],x ﹣x 2≤恒成立⇒k≥(x 2﹣x 3)max ,令h (x )=x 2﹣x 3,则h′(x )=2x ﹣3x 2,令h′(x )=0,可得x=,当x∈(0,)时,h′(x )>0,函数h (x )单调递增;当x∈(,1)时,h′(x )<0,函数h (x )单调递减,∴h(x )max =h ()=;②当x∈(1,2]时,x ﹣1∈(0,1],所以f (x )=﹣ [(x ﹣1)﹣(x ﹣1)2]≤恒成立⇔k≥(x 3﹣3x 2+2x ),x∈(1,2].令t (x )=x 3﹣3x 2+2x ,x∈(1,2].则t′(x )=3x 2﹣6x+2=3(x ﹣1)2﹣1,当x∈(1,1+)时,t (x )单调递减,当x∈(1+,2]时,t (x )单调递增,t (x )max =t (2)=0,∴k≥0(当且仅当x=2时取“=”);③当x∈(2,3]时,x ﹣2∈[0,1],令x ﹣2=t ∈(0,1],则k≥(t+2)(t ﹣t 2)=g (t ),在t∈(0,1]恒成立.g′(t )=﹣(3t 2+2t ﹣2)=0可得,存在t 0∈[,1],函数在t=t 0时取得最大值. 而t 0∈[,1]时,h (t )﹣g (t )=(t 2﹣t 3)+(t+2)(t 2﹣t )=t (1﹣t )(2t ﹣1)>0,所以,h (t )max >g (t )max ,当k≥时,k≥h(t )max >g (t )max 成立,综上所述,k≥0,即k min =0.35.见解析(Ⅰ)1a =,2()(2)(1)1f x x x x =-=--,()22f x x '=-,∴∴min (1)1f f ==-,max max[(3),(0)]f f f =,而(3)3(0)f f =>, ∴max 3f =.(Ⅱ)0a >时,1(2)0a x x a -⎛⎫--> ⎪⎝⎭, ∵1120a a a a -+-=>, ∴12a a-<, 此时()0f x >解集为:[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦, 0a <时,1(2)0a x x a -⎛⎫--< ⎪⎝⎭. ①10a -<<,则12a a-<, ()0f x >解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦. ②1a =-,无解.③1a <-,解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦. 综上:0a >,[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦. 10a -<<,1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦1a =-,∅.1a <-,12a x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦. 36.(1)|1(1)||(1)|x x --<---+22|2||1|(2)(1)x x x x <-⇔<-++,∴12x <-. (2)①∵0x >,∴ln(1)0x >+,∴|ln(1)0||0|ln(1)x x x x ---=-++,记()ln(1)f x x x =-+,(0)0f =.1()1011x f x x x-'=-=<++, ∴()f x 在(0,)∞+单减.∴()2(0)0f x f =,即ln(1)x x <+,∴ln(1)x +比x 靠近0.②120n ->,由①得:2323ln()ln ln ln n n a a a a a a =+++L L12111ln(12)ln(12)ln(12)22n n -----=+++<L L +++++111112(12)211212n ------=<=--, ∴23e n a a a <L .又∵12a =,∴1232e n a a a a <L .37.见解析.解:(1)由2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-得()e 2(e 1)x f x ax a '=-+-+, ∴211()()()e (e 1)1[e 2e 1]22x x g x f x x f x ax a x x ax a '=-⋅=-+-+---+-+, 即11()1e (e 1)122x g x x a x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭, ∴11()(1)e (e 1)22x g x x a '=-+-+, ∴1()e 2x g x x ''=-,[1,)x ∈+∞; ∴()0g x ''<,∴()g x '在[1,)+∞上单调递减,又()g x 在[1,)+∞上单调递减;∴1()(1)(e 1)02g x g a ''=-+≤≤, ∴e 1a -≤,即实数a 的取值范围是(,e 1]-∞-.(2)假设函数()f x 在区间(0,1)上有零点,即存在(0,1)x ∈,使得2e (e 1)10x ax a x -+-+-=, 即2e (1e)1x x a x x+--=-, 记2e (1e)1()x x h x x x+--=-. ①若()1h x <,则2e (1e)110x x x x +---<-,即22e (2e)10x x x x x-+--<-, 由于(0,1)x ∈,有20x x -<,即证2e (2e)10x x x -+-->在(0,1)x ∈上恒成立,令2()e (2e)1x H x x x =-+--,(0,1)x ∈,则()e 22e x H x x '=-+-,()e 2x H x ''=-,当(0,ln2)x ∈时,()0H x ''<,当(ln2,1)x ∈时,()0H x ''>,∴当(0,ln2)x ∈时,()H x '单调递减,当(ln2,1)x ∈时,()H x '单调递增.而(0)102e 0H '=-+->,(1)e 22e 0H '=-+-=,ln 2(ln 2)e 2ln 22e 4e 2ln 20H '=-+-=--<,∴在(0,ln2)上存在唯一的实数0x ,使得0()0H x '=,∴在0(0,)x 上()H x 单调递增,在0(,1)x 上()H x 单调递减,而(0)0H =,(1)0H =,∴()0H x >在(0,1)上恒成立,即2e (1e)1()1x x h x x x+--=<-恒成立, ②若()e 2h x >-,则2e (1e)1(e 2)0x x x x +---->-,即22e (e 2)10x x x x x---->-, 由于(0,1)x ∈,有20x x -<,即证2e (e 2)10x x x ----<在(0,1)x ∈恒成立,令2()e (e 2)1x H x x x =----,则()e 2(e 2)1x H x x '=---,()e 2(e 2)x H x ''=--, 当(0,ln2(e 2))x ∈-,()0H x ''<,()H x '单调递减;当(ln2(e 2),1)x ∈-,()0H x ''>,()H x '单调递增,而(0)0H '=,(1)3e 0H '=->,∴在(ln2(e 2),1)-上存在唯一的实数x ,使得0()0H x '=,∴在0(0,)x 上()H x 单调递减,在0(,1)x 上()H x 单调递增,又(0)0H =,(1)0H =,故()0H x <在(0,1)上成立,即2e (1e)1()e 2x x h x x x+--=>--成立, 综上所述,当(e 2,1)a ∈-时,函数2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-在区间(0,1)上有零点.38.见解析.解:(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,∴令()ln 10f x x '=+>,得1e x >,令()0f x '<,得10ex <<, ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增, ∴1ex =是函数()f x 的极小值点,极大值点不存在. (2)由题意得()()(1)ln (1)g x f x a x x x a x =--=--,∴()ln 1g x x a '=+-,令()0g x '=得1e a x -=.①当1e 1a -<时,即1a <时,()g x 在[1,e]上单调递增,∴()g x 在[1,e]上的最小值为(1)0g =;②当11e e a -≤≤,即12a ≤≤时,()g x 在1[1,e ]a -上单调递减,在1[e ,e]a -上单调递增, ∴()g x 在[1,e]上的最小值为11111(e )e lne e e a a a a a g a a a -----=-+=-;③当1e e a ->,即2a >时,()g x 在区间[1,e]上单调递减,∴()g x 在[1,e]上的最小值为(e)e (e 1)e e g a a a =--=-+,综上所述,当1a <时,()g x 的最小值为0;当12a ≤≤时,()g x 的最小值为1e a a --;当2a >时,()g x 的最小值为e e a a -+.39.见解析.解:(1)1()ln 2f x x x =-,得11()2f x x '=-, ∴(2)ln21f =-,(2)0f '=,∴函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程为ln21y =-.(2)∵112()22x f x x x-'=-=, 令()0f x '>,得2x <,令()0f x '<,得2x >,又()f x 的定义域是(0,)+∞,∴函数()f x 的单调增区间为(0,2).40.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可; (Ⅱ)问题转化为2(x 1﹣1)m ﹣(﹣)+e ﹣1<0对任意m <0恒成立,令g (m )=2(x 1﹣1)m ﹣(﹣)+e ﹣1,得到关于x 1的不等式组,解出即可;(Ⅲ)求出f (x 0)的解析式,记h (m )=m 2﹣mlnm ,m >0,根据函数的单调性求出h (m )的取值范围,从而求出f (x 0)的范围,证明结论即可.【解答】解:(Ⅰ)m=2时,f (x )=e x ﹣2x ﹣1,f′(x )=e x ﹣2,令f′(x )>0,解得:x >ln2,故函数f (x )在[ln2,+∞)递增;(Ⅱ)∵不等式f (x 1)+f (0)>f (x 2)+f (1)恒成立,x 1+x 2=1,∴2(x 1﹣1)m ﹣(﹣)+e ﹣1<0对任意m <0恒成立,令g (m )=2(x 1﹣1)m ﹣(﹣)+e ﹣1,当2(x 1﹣1)=0时,g (m )=0<0不成立,则,解得:x 1>1;(Ⅲ)由题意得f′(x )=e x ﹣m ,f′(x 0)=0,故=m ,f (x 0)=﹣m (x 0+1)+m 2=m 2﹣mlnm ,m >0,记h (m )=m 2﹣mlnm ,m >0,h′(m )=m ﹣lnm ﹣1,h′′(m )=﹣,当0<m <2时,h′′(m )<0,当m >2时,h′′(m )>0,故函数h′(x )在(0,2)递减,在(2,+∞)递增,如图所示:[h′(m )]min =h′(2)=﹣ln2<0,又当m→0时,h′(m )>0,m→+∞,h′(m )>0,故函数h′(m )=0有2个根,记为m 1,m 2(m 1<2<m 2<6),(h′(6)>0), 故h (m )在(0,m 1)递增,在(m 1,m 2)递减,在(m 2,+∞)递增,又当m→0时,h(m)>0,h(m)在m2处取极小值,由h′(m2)=0, m2﹣lnm2﹣1=0,lnm2=m2﹣1,故h(m2)=﹣m2lnm2=﹣m2(m2﹣1)=﹣+m2=﹣+1∈(﹣3,1),故f(x0)>﹣3.41.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)构造函数h(x)=g(x)﹣x﹣,求出函数导函数,对导函数求导后可得导函数的单调性,进一步确定导函数的符号,得到函数h(x)的单调性,可得h(x)≥h (0)=0得答案;(2)由(1)知,当kf(x)时,必有kf(x)≤g(x)成立,然后利用分析法证明当x∈[0,1]时,4f(x),当k≥6时,取特值x=说明不等式kf(x)≤g(x)在区间[0,1]上不恒成立,从而说明n0∈[4,6].【解答】证明:(1)设h(x)=g(x)﹣x﹣,即h(x)=,则h′(x)=e x﹣1﹣x,h″(x)=e x﹣1,当x≥0时,h″(x)≥0,h′(x)为增函数,又h′(0)=0,∴h′(x)≥0.∴h(x)在[0,+∞)上为增函数,则h(x)≥h(0)=0,∴g(x)≥x+;(2)由(1)知,当kf(x)时,必有kf(x)≤g(x)成立.下面先证:当x∈[0,1]时,4f(x),当x=0或1时,上式显然成立;当x∈(0,1)时,要证4f(x),即证4(x﹣x2),也就是证8x2﹣7x+2≥0.∵>0.∴当k≤4时,必有kf(x)≤g(x)成立.∴n0≥4;另一方面,当k≥6时,取x=,kf(x)﹣g(x)=>0,∴当k≥6时,kf(x)≤g(x)不恒成立.∴n0≤6.综上,n0∈[4,6].【点评】本题考查利用等式研究函数的单调性,训练了分析法证明函数不等式,体现了特值思想方法的应用,是中档题.42.(1);(2)见解析.试题解析:(1),由题可知:为的两个根,且,得或.而由(1)(2)得:,设,有而在上为减函数,则,即,即,综上,.(2)证明:由,,知,,由(1)可知,所以,所以.点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.43.(Ⅰ)求出函数的导数,根据二次函数的性质证明即可;(Ⅱ)求出f(α)+f(β)的解析式,根据二次函数的性质以及ACBD均为平行四边形,求出t的值即可.解:(Ⅰ)证明:,即﹣4x2+2tx+4=0,△=4t2+64>0,∴,,即4x﹣t=0,则零点,∴得证.(Ⅱ)要使构成平行四边形,由得,只需f(α)+f(β)=0,===,所以t=0.44.(Ⅰ) 解:因为由,解得:……………………………………………………3分因为所以的极大值为,无极小值.………………………………………7分(Ⅱ) 因为在上是增函数,所以……………………………………………………10分在上是增函数所以……………………………………………………13分所以……………………………………………15分45.(Ⅰ)由,得.经检验,当时取到极小值,故.(Ⅱ)由,即对任意恒成立.(1)当时,有;(2)当时,得令,得;若,则;若,则.得在上递增,在上递减。