周期2
xt1 3.52 xt (1 xt ) 周期4
xt1 4xt (1 xt ) 混沌
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两个概念 渐近（asymptotic dynamics ）：
The term asymptotic dynamics refers to the dynamics as time goes to infinity.
xt2 xt
R=3.3
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• 3.449 <R<3.5699 R=3.52 周期4 周期8 周期16……
周期倍增（period-doubling）
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• 3.5699 < R 4
R= 3.5699达到无穷周期 对大多数R产生混沌（chaos）
R=4
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对初始条件敏感 xt1 4xt (1 xt ) dot: x0=0.523423, circle: x0= 0.523424
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• R>4 轨线最终逃逸（escape）到无穷。
问题2：
1. How many iterations dose it take for the trajectories to get with 0.001of the final value x=0.3333 for R=1.5?
( locally asymptotic stability) • 全局稳定性 globally stable:
If the fixed point is approached by all initial conditions, we say the fixed point is globally stable.
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1、固定点 (fixed point)：
x
t

f ( xt )

xt1 xt1

Rxt ( 1 xt

xt
)


x
t

xt
0 1
1 R
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2、固定点的局部稳定性 线性系统：
固定点 xt 0
R > 1: 不稳定
R=2.9 交替逼近固定点
x*=0.655
xt 1 1/R
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问题1：
1、 x0取不同值时，上述几种情况如何？ 2、x0=0.5, R分别为1.25, 2, 2.75，
画出轨线 t- xt
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• 3<R<3.449 周期2 (period-2)
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• 局部稳定性 locally stable:
If the initial condition happens to be near a fixed point, sequent iterates approach the fixed point, we say the fixed point is locally stable.
2. What happens for R>4?
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小结： • 系统表现出的不同行为
稳定状态、周期、混沌
• 系统参数(R)的不同给系统带来的影响
• 初始状态( x0)的不同对系统的影响
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• 分叉图 ( bifurcation diagram )
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稳态（steady-state） R=1
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N0=100 , R<0 衰减（decay）
R=-0.9
递增（growth） R=-1.08
稳态（steady-state） R=-1
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吸引子（attractor）: 随着时间的演化，系统的一种状态趋势
0<R<1: Nt 0
x
t

f ( xt )
x 0

x


1

1 R
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系统参数：R， 初始条件： x0 ， 取0< x0 <1， x0 =0.1（有生态学意义） • 0<R1
xt 0 (attractor)
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• 1<R<3
R=1.5
单调逼近固定点
x*=0.333
0 < R < 1: 稳定 R=0： 稳定 R=1： 稳定
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-1 < R < 0
R < -1
R=-1 不稳定
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非线性系统：
固定点
x
t

f
(
x
t
)
m df dxt
x
m 1:
x
t
stable
0 m 1: 单调逼近固定点
1 m 0: 交替逼近固定点
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三、稳定状态(steady state)和稳定性（stability）
研究三个问题： 1、系统是否存在固定点(fixed point)？ 2、系统是否在固定点处存在局部稳定性？
局部稳定性(locally stable) 3、系统是否在固定点处存在全局稳定性？
全局稳定性(globally stable)
R>1: Nt
分叉点（bifurcation point）:
以某个参数值为分界，系统进入不同的状 态
R=1
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二、非线性的有限差分方程
1、Logistic Equation: xt1 Rxt ( 1 xt )
系统参数：R 初始条件： x0 固 定 点： （fixed point）
暂态（transient）: Behavior before the asymptotic dynamics is called transient
m 1:
x
t
unstable
m 1: 单调远离固定点
m 1: 交替远离固定点
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以逻辑方程为例分析： xt1 Rxt ( xt ) 固定点
xt1 2.9xt (1 xt ) xt1 3.3xt (1 xt )
第一章 有限差分方程
一、线性有限差分方程: Nt1 RNt
几个概念： •方程（线性） •系统参数：R •初始条件：N0
N1 RN0 N2 RN1 R2 N0
Nt Rt N0
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N0=100 , R>0 衰减（decay）
R=0.9
递增（growth） R=1.08