第42讲 高考选做部分（4-1、4-4、4-5）备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】(2007广东理)13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l 的距离为______.答案：（0，2）；解析：直线的方程为x+y-6=0，=14．（不等式选讲选做题）设函数()|21|3,f x x x =-++则(2)f -=_____；若()5f x ≤，则x 的取值范围是________； 答案：6；1[,1]2-15．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。

ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线ｌ，过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE 的长为_______。

答案：6π；3。

解析：根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案； AE=EC=BC=3； (2007广东文)14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l 的距离为 ． 【解析】法1:画出极坐标系易得答案2; 法2:化成直角方程3y =及直角坐标可得答案2.15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O 的直径AB=6，C 为圆周上一点，BC=3过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ， 则∠DAC= ． 【解析】由某定理可知60DCA B ∠=∠=︒,又AD l ⊥, 故30DAC ∠=︒. （2007海南、宁夏） 22．请考生在A B C ，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲的割如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O点线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，M 是BC 的中点．（Ⅰ）证明AP O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．（Ⅰ）证明：连结OPOM ，． 因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥． 于是180OPA OMA ∠+∠=°．A由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=． 即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．22．Ｃ（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值． 解：（Ⅰ）令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥．．．．．．．．．．．．．．．3分作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫ ⎪⎝⎭，．所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，． （Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知，当12x =-时，214y x x =+--取得最小值92-． (2008广东理)13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．【标准答案】(23,)6π。

【试题解析】我们通过联立解方程组cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=⎧≥≤<⎨=⎩解得236ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即两曲线的交点为(23,)6π。

【高考考点】极坐标、极坐标方程14．（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ． 【标准答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

【试题解析】关于x 的二次方程的判别式114()4a a ∆=--+，方程有实根，那么 114()04a a ∆=--+≥。

即1144a a -+≤，而11244a a a -+≤-，从而11244a -≤， 解得104a ≤≤。

【高考考点】不等式选讲。

15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ． 【标准答案】3。

【试题解析】依题意，我们知道PBAPAC ∆∆，由相似三角形的性质我们有2PA PBR AB=，即222213221PA AB R PB •⨯-===⨯。

【高考考点】几何证明选讲(2008广东文)14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2πρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为 。

【解析】我们通过联立解方程组cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=⎧≥≤<⎨=⎩解得236ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即两曲线的交点为(23,)6π。

15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切点，切点为A ，PA ＝2.AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R =________. 【解析】依题意，我们知道PBAPAC ∆∆,由相似三角形的性质我们有2PA PBR AB=,即2222132PA AB R PB •⨯-===。

（2008海南、宁夏）22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P 。

（Ⅰ）证明：OM·OP = OA 2；（Ⅱ）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交 圆O 于B 点。

过B 点的切线交直线ON 于K 。

证明：∠OKM = 90°。

【试题解析】：（Ⅰ）证明:因为MA 是圆O 的切线,所以OA AM ⊥ 又因为AP OM ⊥,在Rt OAM ∆中,由射影定理知,2OA OM OP =⋅.（Ⅱ）证明:因为BK 是圆O 的切线, BN OK ⊥, 同（Ⅰ）,有2OB ON OK =⋅, OB OA =. 所以OP OM ON OK ⋅=⋅,即ON OMOP OK=. 又NOP MOK ∠=∠,所以NOP MOK ∆∆,故90OKM OPN ∠=∠=°. 【高考考点】圆的有关知识及应用【易错点】：对有关知识掌握不到位而出错【21世纪教育网备考提示】：高考对平面几何的考查一直要求不高，故要重点掌握，它是我们的得分点之一。

（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1：⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x （θ为参数），曲线C 2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.22,222y t x （t 为参数）。

KBPA OM N（Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12,C C //。

写出12,C C //的参数方程。

1C /与2C /公共点的个数和C 21C 与公共点的个数是否相同？说明你的理由。

【试题解析】：（Ⅰ）C 1是圆，C 2是直线，C 1的普通方程是221x y +=，C 2的普通方程是20x y -+=. 因为圆心C 1到直线20x y -+=的距离是1, 所以C 1与C 2只有一个公共点.（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为C 1：cos ()1sin 2x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数， 曲线C 2：222()24x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数. 化为普通方程为1'C :2241x y +=,2'C : 1222y x =+. 联立消元得222210x x ++=,其判别式2(22)4210∆=-⨯⨯=,所以压缩后的直线2'C 与椭圆1'C 仍然只有一个公共点，和C 1与C 2的公共点的个数相同。

【高考考点】参数方程与普通方程的互化及应用【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错【备考提示】：高考对参数方程的考查要求也不高，故要重点掌握，它也是我们的得分点之一 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|4||8|)(---=x x x f 。

（Ⅰ）作出函数)(x f y =的图像； （Ⅱ）解不等式2|4||8|>---x x 。

【试题解析】:（Ⅰ）令214y x x =+--，则4()21284x y f x x x x ⎧⎪==-+<<⎨⎪-⎩≤≥， ，， 4，， ．48．．．．．．．．．．．．．．．3分图象如图所示，（Ⅱ）不等式|8|42x x --->,即()2f x >. 由2122x -+=得5x =.由函数()f x 图象可知，原不等式的解集为(,5)-∞．【高考考点】绝对值不等式的有关知识及应用本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及转化与化归的思想，分析问题与解决问题的能力。

【易错点】：对绝对值不等式不会灵活分类而出错【备考提示】：高考对绝对值不等式的考查要求不高，以中档题为主，故是我们的得分点之一，平时复习时不要盲目加深。