2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． （1）．复数 32(1)i i += A ．2B ．－2C ．2i D ．2i -（2）．集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是 A. }{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C. (0,)A B =+∞D ．}{()2,1R C A B =--（3）．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB = ，(1,3)AC = ,则AB =A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）（4）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖（5）．将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为 A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π（6）．设88018(1),x a a x a x +=+++ 则0,18,,a a a 中奇数的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5（7）．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（8）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为A ．[B ．(C ．[D ．(（9）．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称。

而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是 A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e（10）．设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。

则有A ． 1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>（11）．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有 A ．(2)(3)(0)f f g << B ．(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<（12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）．函数2()f x =的定义域为 ．（14）在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+ ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n nn nn a b a b →∞-+的值是（15）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为（16）已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）．（本小题满分12分） 已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域（18）．（本小题满分12分如图，在四棱锥O A B C D -中，底面ABC D 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

(19)．（本小题满分12分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。

某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望3E ξ=，标准差σξ（Ⅰ）求n,p 的值并写出ξ的分布列；（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率NB（20）．（本小题满分12分） 设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知12axx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

（21）．（本小题满分13分）设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈-（22）．（本小题满分13分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB = ，证明：点Q 总在某定直线上参考答案一. 选择题1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12C 二. 13: [3,)+∞ 14: 1 15: 74 16: 43π三. 解答题17解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sincos )(sin cos )2x x x x x x =++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x =+- 1cos 22cos 222x x x =+-sin(2)6x π=- 2T 2ππ∴==周期 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 去最大值 1又 1()()12222f fππ-=-<= ，当12x π=-时，()f x 取最小值2-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[,1]2- 18 方法一（综合法）（1）取OB 中点E ，连接ME ，NEME CD ME CD ∴ ，‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖MN OCD ∴平面‖（2）CD ‖AB,M D C ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD P ⊥于连接MP⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP,42ADP π∠=∵∴DP =MD ==，1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为3π（3）AB 平面∵∴‖OCD,点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离2OP ====∵，2AP DP ==223OA AP AQ OP === ∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 方法二(向量法)作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N(1)(11),(0,2),(2)44222MN OP OD =--=-=-- 设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0n OP n OD ==即2022022yz x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z =,解得n =(11)(0,0MN n =-= ∵MN OCD ∴平面‖(2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)AB MD ==- ∵ 1c o s ,23AB MD AB MD πθθ===⋅∴∴, AB 与MD 所成角的大小为3π (3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB在向量n =上的投影的绝对值,由 (1,0,2)OB =- , 得23OB n d n ⋅==.所以点B 到平面OCD 的距离为2319 (1)由233,()(1),2E np np p ξσξ===-=得112p -=,从而16,2n p == ξ的分布列为ξ 0123456P164 664 1564 2064 1564 664 164(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则()(3),P A P ξ=≤ 得16152021(),6432P A +++== 或 156121()1(3)16432P A P ξ++=->=-=20 解 (1) '22ln 1(),ln x f x x x +=-若 '()0,f x = 则 1x e= 列表如下x1(0,)e 1e1(,1)e(1,)+∞'()f x+0 --()f x单调增极大值1()f e单调减单调减(2) 在 12axx > 两边取对数, 得1ln 2ln a x x>,由于01,x <<所以 1ln 2ln a x x>(1) 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1()()f x f e e ≤=-,为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2ae >-,即ln 2a e >-21解 (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立(2) 设 103c <<，当1n =时，10a =，结论成立 当2n ≥ 时，3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴ 103C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ 113(1)n n a c a --≤-∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-= ∴1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴(3) 设 103c <<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴ 222222112212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++ ∴2(1(3))2111313n c n n c c-=+->+---22解 (1)由题意：2222222211c a bc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，解得224,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y +=(2)方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。