2 2圆锥曲线提高题1.设抛物线y 2 2px(p 0)的焦点为F ，点A(0, 2).若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为 2 , B 点坐标为(,)所43 _2，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易 4线的距离为 ____________ • 解析：设BF=m,由抛物线的定义知AA-i 3m, BB 1 mABC 中，AC=2m,AB=4nk,AB ，3直线AB 方程为y 3(x 1)与抛物线方程联立消 y 得3x 210xx 1 x 2所以AB 中点到准线距离为 —22解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置 关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
2 .(I)解：因为直线 I : x mym0经过F 2C m 21,0),2- 亠八 m 3 .已知m > 1，直线l : x my 一 2 椭圆C：2x-2m F1F2分别为椭圆C 的左、右焦点. (I )当直线 I 过右焦点F 2时，求直线I 的方程; (n )设直线 I 与椭圆C 交于A,B 两点，V AF , F 2, 重心分别为G, H •若原点0在以线段GH 为直径的圆内, 的取值范围• 以点B 到抛物线准线的距离为2.已知以F 为焦点的抛物线y 24x 上的两点 A 、B 满足 uur AF uuu3FB 则弦AB 的中点到准. 2 所以'm 21m得 m 22 ,又因为m 1所以m .2 ,且有y i y 2由于 F i ( c,0), F 2(c,0),, 故O 为F 1F 2的中点，uuur uuur umr uuir 由 AG 2GO, BH 2HO ,由题意可知2 MO GH ,2 2即 4[(X 1 X 2 )2(y 1y 2 )2] (X 1 X 2) (y 1y ?)66 99即 x-i x 2 y y 2故直线I 的方程为x ,2y2(n)解：设 A(xi, yj, BM y 2)。
m 2x m y 可 由 22x 2彳—y 1m，消去x 得2y 2m 2 则由mym 2 2m 2 8(41)9 9设M 是GH 的中点，贝y M 弹生，址 y2),6 6而X j X2 y1y2 (my-i )(my2 y』2所以(m2即m2 4又因为m 1且0所以1 m 2。
所以m的取值范围是(1,2)。
2 24.己知斜率为1的直线I与双曲线C：务笃 1 a>0, b>0相交于a b的中点为M 1,3 .(I)求C的离心率；(H)设C的右顶点为A,右焦点为F, DF gBF 17,证明：过A x轴相切. 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力【参考答案】B、D两点，且BDB、D三点的圆与既考查考生的基础(1 >由题设知•/的方和为：y = x42. 代入C的方程.井化简.爲(b2-a2)^-4a2x-4a2 -a2b2 =0.〃佃・必)、Ofxj.y,)*4a24a2 + a2fr2由M(I.3>为BD的中点知△上殳=].故21 心尹耳円• b2 =3a31c = >/a:♦ Z>2 =2^所以C的离心率e<£・2・a(II)由①、②知.C的方程为:3?-/=3o2, 人(仏0)・ F(2a.0). X| +x, =1 Xy -x, =-^^-<0.故不妨设斗Wt. ©Na・I 财匸Jg_2d)' + y； = 丁3-卯+3彳4 =«-2^.I FDI = Jcxj _2a)‘ 十y；35&・加)‘ +3g -如二耳-c •I = (a - 2為X2x, r)■ Sa'*"亠8.XIRFilFDIsH 九 故5<12 + 4^ + 8 = ]7.= t 舍去）.5故I BD I = VSI 码-花I ■ V5・J3 +形尸一4州;电・6. 连Wi MA.則由 A （hO ）. M （l.3） >UIW4I = 3 * 从而 AM = MB- MD ・且AM 1 <轴.冈此以M 为岡心・MA 为半检的関经过儿8. D 三点* 11在点人处‘小轴相切.所ya A ・B . D 三点的関与JC 轴相切.【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目， 命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.2 2x y C i~2i(a b 0)C • X2 bv b 25.设椭圆 a b，抛物线C2 by bo设A （ 0, b ）, Q 3J3,5又M 、N 为C i与C2不在y 轴上的两个交点，若△ AMN43的垂心为B 0, — b ，且△ QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程。
42222cb c 2c ,有 2a⑵由题设可知N 关于 y 轴x i , y i ), Ng %)(为 0),由 AMN 的垂心为 B ,有UULU LOT BM AN 0X i 2(y i3b)(y i b) 0。
4设由点”（为，yj 在抛物线上,2 2X i by i b ，解得:y ib或y b(舍去)4于b,M （予（于b,三），得QMN重心坐标4(1)若C 2经过G 的两个焦点，求 C i 的离心率;(2)【解析】考查椭圆和抛物线的定义、 基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点 (c,0) 在抛物线上，可得:b 2 —a 21 1b 2,所以 b=2 ,M( .5, —),N(、5,-)，又因为 M2 2(I)求双曲线C 的标准方程及其渐近 线方程；(II)如题(20)图，已知过点M X 1,y 1 的直线11 : x-|X 4y 1y 4与过点N X 2, y 2 (其中X 2 x )的直线l 2：x 2x 4y 2y 4的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近 线分别交与G 、H 两点，求OGH 的面积。
16N 在椭圆上得：a 2 ，椭圆方程为32X16 2L 1，抛物线方程为X 2 42y 4。
6•已知以原点0为中心, F -.5,0为右焦点的双曲线 C 的离心率eb2由重心在抛物线上得：3— 4解:(I) 的标准方程为密「(a >0, 6 > 0)，则由题意c = e =—=孕， a z 因此a =2,6 = Jd - J = 1, C 的标准方程为j--/ = 1・C 的渐近线方程为y = ±yx,即x-2y = 0和 a +2y = 0.(n)解法一：如答(20)图，由题意点E (孔，九)在直线2心“ +4力y ・4和Z JZ X J X +4如=4上，因此有衍牝+4)•伉=4, x a x £ +4力允=4, 故点M 、N 均在直线x £x + 4y E y = 4上,因此直线MN 的方程为x e r + 4y c y = 4 .设G 、H 分别是直线MN 与渐近线入-2y = 0& x +2y=0的交点,2 2解得北=4设MN 与*轴的交点为Q,则在直线x £x + 4nr = 4中，令y = 0得力=•（易知 x c %< #0）.注意到 xJ-4/1 =4J9Sg=*・ IOQI • In -/.I=盘・ I 石七土;I4 2 |x e |"■M"* |xl-4yir[XfX +4VrV由方程纽x - 2y = 0解法二:设E (牝』由方程组故直线MN 的方程为(II) 设直线PF i、PF ?的斜线分别为k i 、k 2.13(i )证明：2 ；k 1 k 2(ii )问直线l 上是否存在点P ，使得直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率k OA 、k OB 、k oc 、k oD 满足k oA k oB k oc k oD 0 ?若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由•因七*巧‘则直线朋N 的斜睾点= — —■衍-辛 4/x注截到岭壮*4卄血三4,因此直线的方程为St + 4y £y下同解法一.2 2(I) 求椭圆的标准方程；所以?■* zT"*'-更小・卩1「.所1] d ■竝山■ k F 折求桶圆方程为(n)(i)ws 弋•：方法-：*>!>><-UO).F:(l t0)t PF^PFz的国率分别为虹g且点P不衣历以ki工fki工0人丰0・・又宜线PFfPF,的方程分别为y-AJx + Dty-^Cx-l).所以*2 — *12爲島 + 3b -k9厂q・ -T a 2■结论成匕方法二:设9(4以》•则爲一召匚因为点P不在工紬上.所以y9^0. 又x»+力—2»所以土一鱼乂心一込竺乂口旦口如*1 h力>0因此结论成立. .....................CH)解：设AC" %儿力儿C(x c» yc)> DGr"塔(卄1》J 芋皿T，联立贯线川I与橢圆的方程得化简得《2卅+ 1)云+4卅工T绅一'図此由于所以目此0>■・, 2対一2和+刊一-巫耳V工皿=阪TH亍OA.OB的斜甲存在.x A工0,x B H 0■因此妊兴0』• 匕+心=之+也=臥*尢"+匕轧土！2X A X> 如工・=2h 十® 兰主^ ■■ h (2 -诂、2>2kxS3— (X)Q-1相似地可以得到Xc#O, %工0,愿界0丄址十&8故心十屉〒址%+_严為—新十上％—鱼 2Ct (^ -D(*i +fe t )(Al^- 1X%I 1 >若点曲十‘匸+匕+张=乩黛宥h +島虫°或九电« 15)岂杠+ h ■ 0时.结合(i 〉的结论•可得Jtj ・L 沢质Ulin 曙点P 站坐掠为 C0,2>②当居虽弓】时•箱舍的鰭论，解钳趾=一 M 此时— I ■不瞒 足站护居，含去片此时点阀CD 的方程为> -3(x-nj^立方裂盂十2 盹■#4-召 铜此F 脊申・练上所述曲足乘件的点f 的生皿駢35②煜申，8.在平面直角坐标系 xOy 中，点B 与点A (-1,1 )关于原点0对称，P 是动点，且直线 AP1与BP 的斜率之积等于^3(I )求动点P 的轨迹方程；(II )设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点 P 使得△ PAB 与厶PMN 的 面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。