高中数学圆锥曲线压轴题集锦2一．解答题（共60小题）1．如图，F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线C：=1（a，b＞0）的左，右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F1作直线PF1的垂线交直线l：x=﹣于点Q．（1）若点P的坐标为（4，6），求双曲线C的方程及点P处的切线方程；（2）证明：直线PQ与双曲线C只有一个交点；（3）若过l：x=﹣上任一点M作双曲线C：=1（a，b＞0）的两条切线，切点分别为T1，T2，问：直线T1T2是否过定点，若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．2．已知曲线C1：+=1（a＞b＞0，x≥0）和曲线C2：x2+y2=r2（x≥0）都过点A（0，﹣1），且曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为（1）求曲线C1，C2的方程（2）设点B，C分别在曲线C1，C2上，k1，k2分别为直线AB，AC的斜率，当k2=4k1时，①直线BC是否经过定点？请说明理由②设E（0，1），求||•||的最大值．3．已知B（﹣1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足||•||=•．（1）求点P（x，y）的轨迹C对应的方程．（2）如果点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，问直线DE是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．4．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为1，最小值为﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．5．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l 的方程．6．过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．7．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．8．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．9．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．10．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．11．如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P 的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”12．如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．13．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．14．椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．15．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为，准线为l，点P（x0，y0）（y0＞p）为抛物线C上的一点，且△FOP的外接圆圆心到准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若圆F的方程为x2+（y﹣1）2=1，过点P作圆F的2条切线分别交x轴于点M，N，求△PMN面积的最小值及此事y0的值．16．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，﹣1），且其右焦点到直线的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．17．已知直线L：y=x+1与曲线C：交于不同的两点A、B，O为坐标原点．（1）若|OA|=|OB|，试探究在曲线C上仅存在几个点到直线L的距离恰为？并说明理由；（2）若OA⊥OB，且a＞b，，试求曲线C的离心率e的取值范围．18．设抛物线（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率的椭圆C2与抛物线C1的一个交点为P．（1）当m=1时，直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1、A2，如果弦长|A1A2|等于三角形PF1F2的周长，求直线l的斜率．（2）求最小实数m，使得三角形PF1F2的边长是自然数．19．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率，且点P（﹣2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标．20．已知椭圆C：的离心率为，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得36|AP|2=35|AM|•|AN|？若存在，试求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，=，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（﹣，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22．如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．（Ⅰ）F为抛物线C的焦点，若，求k的值；（Ⅱ）是否存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．23．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．（1）当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．24．设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．25．设椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t取值范围．26．已知椭圆C的离心率e=，长轴的左右端点分别为A1（﹣2，0），A2（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．27．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=4x上相异两点，且满足x1+x2=2．（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线AB的方程；（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．28．如图，过抛物线x2=4y焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点（A在第一象限），点C（0，t）（t＞1）．（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，求直线l的方程；（II）若，且∠FAC为锐角，试求t的取值范围．29．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x=2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．30．焦点分别为F1，F2的椭圆过点M（2，1），抛物线的准线过椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）不过M的动直线l交椭圆C于A、B两点，若•=0，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．31．设抛物线M方程为y2=2px（p＞0），其焦点为F，P（a，b）（a≠0）为直线y=x与抛物线M的一个交点，|PF|=5（1）求抛物线的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，使得△QAB为等边三角形，若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由．32．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为4．（1）求椭圆的方程；（2）过点（m，0）（m＞）且斜率为﹣的直线l交椭圆于C，D两点，F为椭圆的右焦点，如果|CD|2=4|FC|•|FD|，求∠CFD的大小．33．已知椭圆的离心率为．（I）若原点到直线x+y﹣b=0的距离为，求椭圆的方程；（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．（i）当，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数λ，μ满足的关系式．34．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，=其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（﹣，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在x轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．35．已知直角坐标平面内的动点M满足：|MA|2﹣|MB|2=4（|MB|﹣1），其中A（0，﹣1），B（0，1）．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过N（﹣2，1）作两条直线交（Ⅰ）中轨迹C于P，Q，并且都与“以A为圆心，r为半径的动圆”相切，求证：直线PQ经过定点．36．已知A，B，C均在椭圆上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2，当时，有．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x2+（y﹣2）2=1的任一条直径，求的最大值．37．已知点B（0，1），A，C为椭圆上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．（II）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？38．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）若=2（+）（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求△EAB的面积；（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．求证：当k0为定值时，k1+k2也为定值．39．已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2﹣=1．设点P 在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S﹣S的取值范围．40．已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=•（+）+2．（1）求曲线C的方程；（2）动点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．41．已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．42．设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．43．已知经过点的双曲线的离心率为2．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在经过（0，﹣1）的直线l与双曲线C有两个不同的交点A、B，且线段AB的垂直平分线分别交x轴，y轴与点P、Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．44．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（2，0）．（1）求抛物线C的方程；（2）过N（﹣1，0）的直线l交曲C于A，B两点，又AB的中垂线交y轴于点D（0，t），求t的取值范围．45．已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率e=，M，N是椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA并延长交椭圆于点B，设直线MN、MB的斜率分别为k MN、k MB，求k MN•k MB的值．46．设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．47．已知抛物线L：x2=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足．（1）求实数p的取值范围；（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．48．设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：x3﹣24y﹣20﹣4﹣（1）求C1、C2的标准方程；（2）设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．49．中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过C（2，2），且．（1）求椭圆E的方程．（2）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．50．已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，半焦距为c（c＞0），且a﹣c=1．经过椭圆的左焦点F，斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）当k1=1时，求S△AOB的值；（Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：为定值．51．已知A、B是抛物线y2=4x上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．（I）求证：直线AB过定点M（4，0）；（II）设弦AB的中点为P，求点P到直线x﹣y=0的距离的最小值．52．抛物线C1的方程是（y﹣2）2=﹣8（x+2），曲线C2与C1关于点（﹣1，1）对称．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过点（8，0）的直线l交曲线C2于M、N两点，问在坐标平面上能否找到某个定点Q，不论直线l如何变化，总有∠MQN=90°．若找不到，请说明理由；若能找到，写出满足要求的所有的点Q的坐标．53．已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知两点Q（﹣2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．54．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为．（I）求p与m的值；（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点M作抛物线的切线MN，N（非原点）为切点，以MN为直径作圆A，若圆A恰好经过点Q，求t的最小值．55．已知直线x+y﹣1=0与椭圆相交于A，B两点，线段AB中点M在直线上．（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程．56．直线l：y=k（x﹣1）过已知椭圆经过点（0，），离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．57．已知抛物线C的方程为y2=2x，焦点为F，（1）若C的准线与x轴的交点为D，过D的直线l与C交于A，B两点，且||=2||，求直线l的斜率；（2）设点P是C上的动点，点R，N在y轴上，圆M：（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN 面积的最小值．58．过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x2+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点．（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；（2）求证：直线PQ过定点；（3）若a≠0，试求S：|OA|的最小值．△APQ59．已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=﹣1上的射影为点N，且满足（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MD，ME，且MD，ME所在直线的斜率为k1，k2，满足k1k2=1，求证：直线DE过定点，并求出这个定点．60．已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM 上，且满足=2，•=0，点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线y=kx+与（1）中所求点N的轨迹E交于不同两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤，求△FOH的面积的取值范围．高中数学组卷0060题2参考答案与试题解析一．解答题（共60小题）1．如图，F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线C：=1（a，b＞0）的左，右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F1作直线PF1的垂线交直线l：x=﹣于点Q．（1）若点P的坐标为（4，6），求双曲线C的方程及点P处的切线方程；（2）证明：直线PQ与双曲线C只有一个交点；（3）若过l：x=﹣上任一点M作双曲线C：=1（a，b＞0）的两条切线，切点分别为T1，T2，问：直线T1T2是否过定点，若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．【分析】（1）根据点P的坐标为（4，6），建立方程组，求出a，b，即可求得双曲线C的方程；求导数可得切线斜率，进而可求点P处的切线方程；（2）求出QF1的斜率为﹣，方程为y=﹣（x+4），可得Q的坐标，从而可得直线PQ的斜率为=2，即PQ为点P处的切线，即可证明直线PQ与双曲线C只有一个交点；（3）求出MT1：y﹣y1=（x﹣x1）；MT2：y﹣y2=（x﹣x2），代入M（﹣1，t），从而可得T1（x1，y1），T2（x2，y2）都满足方程t﹣y=（﹣1﹣x），即可得出结论．【解答】（1）解：由题意，，∴a2=4，b2=12∴双曲线C的方程为；由，可得y=，∴y′=，∴x=4时，y′=2，∴点P处的切线方程为y﹣6=2（x﹣4），即2x﹣y﹣2=0；（2）证明：直线PF1的斜率为=，∴QF1的斜率为﹣，方程为y=﹣（x+4），∵准线l：x=﹣=﹣=﹣1，代入y=﹣（x+4），可得Q（﹣1，﹣4），∴直线PQ的斜率为=2，即PQ为点P处的切线，∴直线PQ与双曲线C只有一个交点；（3）解：双曲线C的方程为，左准线方程为x=﹣1，设M（﹣1，t），T1（x1，y1），T2（x2，y2）．则MT1：y﹣y1=（x﹣x1）；MT2：y﹣y2=（x﹣x2），代入M（﹣1，t），可得t﹣y1=（﹣1﹣x1）；MT2：t﹣y2=（﹣1﹣x2），∴T1（x1，y1），T2（x2，y2）都满足方程t﹣y=（﹣1﹣x）．显然t的变化，不能使方程经过同一点．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查直线方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．2．已知曲线C1：+=1（a＞b＞0，x≥0）和曲线C2：x2+y2=r2（x≥0）都过点A（0，﹣1），且曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为（1）求曲线C1，C2的方程（2）设点B，C分别在曲线C1，C2上，k1，k2分别为直线AB，AC的斜率，当k2=4k1时，①直线BC是否经过定点？请说明理由②设E（0，1），求||•||的最大值．【分析】（1）由已知曲线都过点A（0，﹣1），且曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为，可确定相应几何量，从而可得曲线C1和曲线C2的方程；（2）①将直线AB，AC的方程分别与椭圆、圆联立，进而可求点B，C的坐标，从而可得直线BC的方程，进而可知过定点，②由||•||=|•|，再|根据向量的坐标运算和向量的数量积和基本不等式即可求出．【解答】解：（1）由已知得r2=1，b2=1，又e===，解得a2=4，∴曲线C1的方程为，（x≥0），曲线C2的方程为x2+y2=1，（x≥0）．（2）①将y=k1x﹣1代入，得（1+4k12）x2﹣8k1x=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=0，x2=，∴B（，），将y=k2x﹣1代入x2+y2=1，得（1+k22）x2﹣2k2x=0，设C（x3，y3），则x3=，y3=k2x3﹣1=，∴C（，），∵k2=4k1，∴C（，），∴直线BC的斜率k BC=﹣，∴直线BC的方程为：y﹣=﹣（x﹣），即y=﹣x+1，∴直线BC过定点（0，1）．②∵=（﹣，﹣），=（﹣，1﹣）=（﹣，），∴||•||=|•|=|++﹣| =|﹣+|=，=≤=，当k1=±2时取等号故||•||的最大值【点评】本题考查曲线轨迹方程的求解，考查直线恒过定点，以及向量的数量积运算和基本不等式，解题的关键是确定点B、C的坐标，求出直线BC的方程是，属于难题．3．已知B（﹣1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足||•||=•．（1）求点P（x，y）的轨迹C对应的方程．（2）如果点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，问直线DE是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（1）根据B（﹣1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足||•||=•，可得=1+x，化简可得点P（x，y）的轨迹C对应的方程．（2）将A（m，2）代入y2=4x可求m=1，从而可得点A的坐标为（1，2），设直线DE的方程为x=my+t代入y2=4x，整理得y2﹣4my﹣4t=0，设D（x1，y1），E（x2，y2）则y1+y2=4m，y1•y2=﹣4t，利用=0，代入可求．【解答】解：（1）∵B（﹣1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足||•||=•，∴=1+x，化简可得y2=4x；（2）将A（m，2）代入y2=4x得m=1，∴点A的坐标为（1，2）．设直线DE的方程为x=my+t代入y2=4x，得y2﹣4my﹣4t=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1•y2=﹣4t，△=（﹣4m）2+16t＞0（*）∵AD⊥AE，∴=0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=0，∴x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2﹣2（y1+y2）+4=0，代入化简可得t2﹣6t+9=4m2+8m+4即（t﹣3）2=4（m+1）2∴t﹣3=±2（m+1）∴t=2m+5或t=﹣2m+1，代入（*）式检验知只有t=2m+5满足△＞0，∴直线DE的方程为x=m（y+2）+5，∴直线DE过定点（5，﹣2）．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了直线系方程的运用，考查直线过定点，是有一定难度题目．4．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为1，最小值为﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．【分析】（1）设M（x'，y'），化简•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），从而求最值，进而求椭圆方程；（2）设直线MN的方程为x=ky﹣6并与椭圆联立，利用韦达定理求•的值，从而说明是直角．【解答】解：（1）设M（x'，y'），则y'2=b2﹣x'2，•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），则当x'=0时，•取得最小值2b2﹣a2=﹣2，当x'=±a时，•取得最大值b2=1，∴a2=4，故椭圆的方程为．（2）设直线MN的方程为x=ky﹣，联立方程组可得，化简得：（k2+4）y2﹣2.4ky﹣=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，又A（﹣2，0），•=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（k2+1）y1y2+k（y1+y2）+==﹣（k2+1）+k+=0，所以∠MAN为直角．【点评】本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应用，属于难题．5．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l 的方程．【分析】（I）由题意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0），可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．利用线段的垂直平行的性质可得，解出即可得到圆的方程；（II））由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d=，再利用弦长公式即可得到b=．把直线l的方程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论．【解答】解：（I）由题意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0）．故⊙C的半径为2，圆心为原点O 关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．则，解得．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；（II）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d=，∴b=．由得（5+m2）y2+4my﹣1=0．设l与E的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2）．则，．∴a===，∴ab===．当且仅当，即时等号成立．故当时，ab最大，此时，直线l的方程为，即．【点评】本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b=、直线与椭圆相交的弦长公式a=、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．．6．过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．【解答】解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．7．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），。