高考圆锥曲线压轴题型汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。

而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。

使用韦达定理时需注意成立的条件。

题型4有关定点，定值问题。

将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。

（湖北卷）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x k CD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔ ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,2122923-=--=λλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得.231,2122,4,321-±-=-±-λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）【点评】第一问可以作为直线与圆的知识点，第二问就作为函数思想算了，未知数一个嘛。

（06辽宁卷）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P 的值。

【解析】(I)证明1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=故线段AB 是圆C 的直径 证明2:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则即2112211(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠--去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=故线段AB 是圆C 的直径 证明3:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)以线段AB 为直径的圆的方程为2222121212121()()[()()]224x x y y x y x x y y ++-+-=-+-展开并将(1)代入得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=故线段AB 是圆C 的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2211222,2(0)y px y px p ==>22121224y y x x p ∴=又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p ∴-⋅=12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠2124y y p ∴⋅=-2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p =+所以圆心的轨迹方程为222y px p =-设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则22221|(2)2||2||22|555y p y x y y py p p d p +---+===22|()|5y p p p -+=当y=p 时,d 有最小值5p ,由题设得2555p =2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2211222,2(0)y px y px p ==>22121224y y x x p ∴=又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p ∴-⋅=12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠2124y y p ∴⋅=-2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p =+所以圆心的轨迹方程为222y px p =-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为255,则2m =±因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为25522220(2)2(3)x y y px p --=⎧⎨=-⎩将(2)代入(3)得222220y py p p -+-=2244(22)0p p p ∴∆=--= 02.p p >∴=解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则1212|()|25x x y y d +-+=2211222,2(0)y px y px p ==>22121224y y x x p ∴=又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p ∴-⋅=12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠2124y y p ∴⋅=-2212122*********|()()||24()8|4545y y y y y y y y p y y p pd p +-+++-++∴==2212(2)445y y p p p +-+=当122y y p +=时,d 有最小值5p ,由题设得2555p =2p ∴=. (山东理)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===221.43x y ∴+=(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +->.当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7（07湖南理）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点． （I ）若动点M 满足1111F M F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111F M F A F B FO =++得 121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822y y y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y--=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． （II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-， 于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+-- 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k mk k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m mk k -+-=+=-++--．因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(22)，，(22)-，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数． 解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩，当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-． 21212244(4)411k k y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．由①②③得22441k x k -=-．…………………………………………………④ 241ky k =-．……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x ky -=，将其代入⑤有2222444(4)(4)(4)1x y x yy x x y y -⨯-==----．整理得22(6)4x y --=． 当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． （II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数， 当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-． 以上同解法一的（II ）．CA CB 是题型1简单类型，其实重点是一个有关定值问题。