【解析】设点 ，则 ，得 ，
圆 的圆心 ，半径为 ，
则 ，
令 ，对称轴为 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 最小值为 ，
所以 的最小值为 ，
故选：D.
例4已知抛物线 的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点P是抛物线上的动点，则当 的值最小时， 的内切圆半径为
A. B.2C.1D.
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系．设P到准线的距离为PQ，根据抛物线的性质可知 从而当 最小，即AP与抛物线相切时， 的值最小．求出抛物线过A点的切线方程得出P点坐标，代入面积公式得出面积．
A. B. C.4D.6
【答案】C
【分析】因为 ，故 ，再使用定义将 转化为到准线的距离，设出点坐标，使用基本不等式求解.
【解析】因为 ，故
设 ，则
所以
设 ，则
当且仅当 ，等号成立
所以 的最小值是4.
例3已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先求出点 到圆心 的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案
当 ，结果仍有 ，
的内切圆的面积为 ．
故选BCD．
3.【答案】
【分析】由双曲线的定义得 ，又 的最小值为8，则 ，再利用基本不等式即可得 ，其中 时等号成立，再设 ，则由双曲线第二定义， ，又 ， ，又因为 ，即可求解离心率的取值范围．
【解析】因为 ，
所以
其中 时等号成立．
又设 ，则由第二定义，得 ．
【解析】 设 = ，则 = ，取AB中点为D，再取BD中点为E，
则由 ，得 ， ，
所以 ，即E点的轨迹方程为 ．
．
由于P点在圆 上，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以
故答案为 ．
【巩固训练】
1.面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 （ ）图象上一动点，
若点 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为．
【解析】抛物线的准线方程为 ．
设P到准线的距离为 ，则 ．
．
当PA与抛物线 相切时， 最小，即 取得最小值．
设过A点的直线 与抛物线相切 ，代入抛物线方程得 ，
，解得 ．
即 ，解得 ，把 代入 得 ．
或 ．
．
所以 ，设 的内切圆半径为r
所以 ，所以 ．
故选A．
例5已知A、B是圆 上的动点， ，P是圆 上的动点，则 的取值范围是__________
，
，
又 ，
，即 ，
当 时存在互为相反数的两斜率k，即存在关于 对称的两条直线．
综上，当 时有三条满足条件的直线．
故答案为 ．
【答案】
【分析】本题的关键是将所求 转化为一个向量，这里设 = （想一想，这里为什么将系数确定为4，而非其它数？其主要目的在于利用三点共线，使点 在线段 上，这是遇到两向量和、差的模的常用的策略，其目的仍是化繁为简、合二为一），从而由 化简得 ，进一步可求得 故E点的轨迹为圆，最终转化成两圆上的点间的距离问题即可求解．
2.抛物线 的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设点 ，当 取得最小值时，则
A.AB的斜率为 ；B.
C. 外接圆的面积为 ；D. 内切圆的面积为
3.已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若 的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围为________．
4.过抛物线 焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆 交于C，D两点，若有三条直线满足 ，则r的取值范围为．
【答案或提示】
1.【答案】－1或
【提示】设点，转化为函数解决.
2.【答案】BCD
【分析】由题意利用抛物线的定义可得 ，当 取得最小值时，AB与抛物线相切，再联立直线与抛物线方程，由此可得 ， ， 的值，即可分析各选项．
【解析】由题意，过点A作准线的垂线，垂足为C，点B即为抛物线的准线与x轴的交点，由抛物线的定义可得 ，
【解析】抛物线 焦点为 ，
当直线 轴时，直线l： 与抛物线交于 、 ，
与圆 交于 ， ，满足 ．
当直线l不与x轴垂直时，设直线l方程 ， ，
联立方程组 ，化简得 ，
由韦达定理 ，由抛物线得定义，过焦点F的线段 ，
当四点顺序为A、C、D、B时， ，
的中点为焦点 ，这样的不与x轴垂直的直线不存在；
当四点顺序为A、C、B、D时，
要使 式中等号成立，则必须2a ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
4.【答案】
【分析】求得抛物线的焦点，讨论直线l的斜率不存在，可得A，B，C，D，满足题意；当直线的斜率存在，设直线l方程 ， ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，讨论当四点顺序为A、C、D、B时，当四点顺序为A、C、B、D时，考虑是否存在与直线 对称的直线，即可得到所求范围．
当 取得最小值时，即 取得最小值，也即 取得最小值，此时AB与抛物线相切，
设AB的方程为 ，则
消去y可得 ，
则 ，
解得 ，不妨设 ，代入 中解得点A的坐标为 ，
可得 为等腰直角三角形，
， ，
设 外接圆的半径为R，由直角三角形的性质可知， ，
所以 外接圆的面积为 ，
设 内切圆的半径为r，则 ，
解得 ，
专题50圆锥曲线的最值
【方法点拨】
综合运用函数知识、向量、基本不等式等求解圆锥曲线中的最值问题.
【典型题示例】
例1已知 ，P为抛物线 上任一点，则 的最小值为．
【答案】
【分析】直接设点P的坐标 ，转化为 的二次函数即可解决.
【解析】设点P的坐标
则
当且仅当 ，即当点P的坐标 时， 取得最小值为 .
例2已知点小值是（）.