沈阳农业大学理学院第一学期期末考试
《高等代数》试卷(1)
1 •设 f (x) = x 4
+x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2•当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3
—3x+t 有重因式。
3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2
x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2
=23 。
1 1 —
-2 0 1
x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0
7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为
x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0
题号
-一-
-二二
-三
四
五
六
七
总分
得分
、填空(共35分，每题5 分)
得分
4.行列式
1 -3
5.
■’4 10"
1 0 3
-1、 -1 1 3
'9 -2 -1 2 1 0 2」
2 0 1
< 9 9 11
<1 3 4 丿
6.
z
5 0 0 1 -1
<0 2 1；
0-2 3
矩阵的积
c 亠5 刘=2x3 X4
4
x3, x4任意取值。
X2 二-2x^ --x4
、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。
求证 当且仅当(f(x)
g(x), f(x)g(x))=1。
证：必要性.设(f(x)
g(x), f (x)g(x)) =1。
(1%
令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知
p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%)
不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。
故 p(x) |1 矛盾。
(2%)
充分性.由(f (x)
g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使
u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%)
从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%)
故(f (x), g(x)) =1 o (1%)
ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1
有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。
解：
a b 2
1
a b 2 1 a 2b -1 3
1 T 0 b —1 1 0
b J*
b+3
2b-1 ,
b+1 2b-2 ‘ (5%)
a 2 -
b 0 1
0 b -1 1 0
L 0 0
b+1 2b —2
当b =1时，有无穷解：X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值;
当a =0,b =5时，有无穷解：x 1 = k,x^ --3,x^ 4
，k 任意取值；(3%)
当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时，无解。
(4%)
三、(16分)a,b 取何值时，线性方程组 当a(b
2
T) = 0时，有唯一解: 5-b
a(b 1) X 2
2
b+1
x3 = 2b -2
b 1 ；4%) (f(x),g(x)) =1
四、(10分)设a i ,a 2,…，a n 都是非零实数，证明
:对n 用数学归纳法。
当 n=1时，D"i = 1 ■ a^i = a 1
(^ —),结论成立(2%); a 1
假设n-1时成立。
则n 时
1 +a 1 1
1 ■ ■
■ 1 1
1 +q
1 1 ■
■■ 0
1
1 +a
2 1 ■
■ ■ 1
1
1
1 +a
2 1 ■ ■■ 0 D n =
1 1
1 +a 3 ■ ■ ■ 1 1 + 1
1 "a ?
■ ■■ 0
1
1 1 ■ ■
■ 1 1
1 1
1
■ ■■
a n
= a02…an 」a n D n 」(4%)
n4 1 )
D n 4 = aQ ? ■■&* 1 1 + W 有
I y a i 丿
故由归纳原理结论成立。
(1%)
五、(10分)证明f (x) =X
4
V 在有理数域上不可约。
证：令 x 二 y • 1 得(1%)
g(y)二 f (x)二 y 4 4y 3 6y 2 4y 2。
(3%)
取素数p=2满足
2|2,2 |4,2 |6,2 |4,且 2 不整除 1, 4 不整除 2. (2%)
再据艾茵斯坦茵判别法知 g(y^y 4
4y
3
6y 2 4y 2在有理数域上不可约，(2%)
得分
得分
1 a 1 1 1 1 1 a
2 1 1
1 1 a 3 1
1
1
1 1 a n
现由归纳假设
D
n = a
1a
2 ■■■a
n a
n D
n ^ =
a
i a 2 ■■■a n 4*4 a
2■■■a
^^a
n
n .1 1 i
丄 i =1 a i
= a 1a
2 ■■-a
n 4a
n 1+£ - 、im a
i 丿
,(3%)
n
=a
1
a
2 ■■-a n
(1
亠二
从而f (x) = X 4
• 1在有理数域上不可约(2%
六、(9分)令A 为数域F 上秩为r 的m n 矩阵，r 0。
求证：存在秩 为r 的m r 矩阵F 和秩为r 的r n 矩阵G ,使得A 二FG 。
证： A 为数域F 上秩为r 的m n 矩阵，r 0,则存在m m 可逆阵P 和n n 可逆阵Q
使
f i r 0)
A = p Q .(3%
<0 0丿
进而令
F=P
,G=(l r 0)Q (4%
就得 A =FG ( 2%
七、(10分)设A , B 是n n 矩阵，且AB , A - B 可逆。
求证2n 2n
f A B 、
矩阵p =
可逆，且求p 」。
<B A 丿
证：
故P 可逆 (5%
得分
得分
A B A + B B
A + B
B
B A
B +A A
0 A —B
|P|
= =| A B || A- B 卜
0，
令P 4
Y S 」
'A B ¥ X
I
<B A 人T
10 0 I n
」
(1%
‘AX +BT I
n
进而 AY BS BX AT =0
=0 BY AS = I 1 — i
i n
X =2「(A + B )+(A -B) I 1 一 i i n
(1%，解得 Y (A B) -(A-B)
( 3%
T =Y
S = X。