第五章 二 重 积 分1.定义:∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 10d ),(lim d ),(σηξσ2.几何意义:3.性质:1) 比较定理: 若),(),(y x g y x f ≤,则⎰⎰⎰⎰≤DDy x g y x f .d ),(d ),(σσ2) 估值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则.d ),(MS y x f mS D⎰⎰≤≤σ3) 中值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则S f y x f D),(d ),(ηξσ⎰⎰=.4.计算1) 直角坐标: 2) 极坐标:i) 适合用极坐标计算的被积函数:);(),(),(22yxf x y f y x f +ii)适合用极坐标的积分域:3) 利用奇偶性.①若积分域D 关于y 轴对称,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=≥DD x x y x f y x f y x f d y x f x .),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ②若积分域关于x 轴对称,则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=≥DD y y y x f y x f y x f d y x f y .),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ4) 利用对称性:若D 关于x y =对称,则`.d ),(d ),(⎰⎰⎰⎰=DDx y f y x f σσ特别的： ⎰⎰⎰⎰=DDd y f d x f σσ)()(题型一 计算二重积分例5.1计算⎰⎰+Dx ye x σd )|(|2，其中D 由曲线1||||=+y x 所围成.解 由奇偶性知原式=⎰⎰⎰⎰=14D Dxd d x σσ （其中1D 为D 在第一象限的部分）.3241010==⎰⎰-x xdy dx例5.2设区域D 为222R y x ≤+,则⎰⎰+D b y a x σd )(2222=.解法1)11(4)sin cos ()(224320022222222b a R d b a d d b y a x R D+=+=+⎰⎰⎰⎰πρρθθθσπ. 解法2 由于积分域222:R y x D ≤+关于直线x y =对称，则σσd b x ay d b y a x D D ⎰⎰⎰⎰+=+)()(22222222. 从而有 21)(2222=+⎰⎰σd b y ax D [左端 + 右端] σd y x b a D ⎰⎰++=)()11(212222)11(4)11(21222004322ba R d db a R +=+=⎰⎰ππρρθ 例 5.3设区域{}0,0,4|),(22≥≥≤+y x y x y x D ,)(x f 为D 上正值连续函数,b a ,为常数,则⎰⎰=++Dy f x f y f b x f a σd )()()()(.A)πab , B)π2ab , C)π)(b a +, D)π2b a +. 解法1直接法 由于积分域D 关于直线x y =对称，则⎰⎰⎰⎰++=++DDd x f y f x f b y f a d y f x f y f b x f a σσ)()()()()()()()(.原式])()()()()()()()([21⎰⎰⎰⎰+++++=D Dd x f y f x f b y f a d y f y f y f b x f a σσ πσ2)(21ba db a D+=+=⎰⎰.故应选（D ）. 解法2 排除法取,1)(≡x f 显然符合题设条件，而⎰⎰++Dy f x f y f b x f a σd )()()()(πσ2)(21ba db a D+=+=⎰⎰. 显然（A ），（B ），（C ）均不正确，故应选（D ）。

例 5.4 计算⎰⎰++Dy x yf x σd )](1[22,其中D 是由1,1,3-===x y x y 围成的区域,)(u f 为连续函数. 解d x d y y x xyf xdxdy dxdy y x yf x DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++)()](1[2222. 而0)(22=+⎰⎰dxdy y x xyf D， （利用奇偶性） ⎰⎰⎰⎰--==Dx xdy dx xdxdy 111352， 则 原式.52-=例5.5 计算⎰⎰Dyyσd sin ,其中D 由x y =和x y =围成. 解⎰⎰⎰⎰⎰-=-==Dy y dy y y y dx y y dy dxdy y y101021sin 1]sin [sin sin sin 例5.6计算d x d y y x D⎰⎰+22,其中D 由曲线)0(222>=+a ay y x 所围成.解 ⎰⎰⎰⎰⎰==+ππθθρρθ03sin 203222sin 38d a d d dxdy y x a D3033932)cos 3cos (38a a =-=πθθ. 例5.7计算⎰⎰+Dy x σd )(,其中D 由y x y x +≤+22所确定.解法1 圆y x y x +=+22在极坐标下方程为θθρs i n c o s +=，则 ⎰⎰⎰⎰-++=+4342sin cos 0)sin (cos )(ππθθρρθθθσd d d y x D⎰-+=4344)sin (cos 31ππθθθd⎰-+=4344)4(sin 34ππθπθd⎰=+ππθ04sin 344tdt t22214338sin 38204πππ=⋅⋅⋅==⎰tdt .解法2 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-,sin 21,cos 21θρθρy x 此时θρρσd d d =，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅==++=+ππππρρθρρθρθρθσ20202102102412)1sin cos ()(d d d d d y x D.注意：⎰⎰==ππθθθθ20200sin cos d d .解法3 由于⎰⎰⎰⎰+-+-=+D Dd y x d y x σσ]1)21()21[()(而⎰⎰⎰⎰=-=-D Dd y d x 0)21()21(σσ （利用奇偶性） 则⎰⎰⎰⎰==+DDd d y x 2)(πσσ （积分域面积）.解法4 由对称性知S x xd d y x DD⎰⎰⎰⎰==+22)(σσ，其中x 为积分域D 的形心的x 坐标，应为21=x ，S 为积分域D 的面积，应为2π=S ，则2)(πσ=+⎰⎰d y x D.例 5.8计算⎰⎰Dy x y d d ,其中D 是由2,0,2==-=y y x ,以及曲线22y y x --=所围成.解法1 在直角坐标下化为累次积分计算dy y y y ydy dy y y y ydx dy ydxdy Dy y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----=--==222220222222]22[dy y y ⎰---=22)1(14 （令t y s i n1=-） ⎰--=+-=22224c o s )s i n 1(4πππt d t t .于是⎰⎰-=Dyd 24πσ.事实上，计算dy y y ⎰--22)1(1还有一种巧妙的方法：dy y dy y y dy y y ⎰⎰⎰--+---=--222222)1(1)1(1)1()1(1，0)1(1)1(22=---⎰dy y y .而dy y ⎰--22)1(1应等于半圆的面积2π，故 2)1(1202π=--⎰dy y .解法2⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-θππρθρθσsin 2022202sin d d ydy dx yd D⎰⎰-=-=πππθθθθ22044sin 384sin 384d d2422143384ππ-=⋅⋅⋅-=.解法3 由于积分域D 关于直线1=y 上下对称，则⎰⎰=-Dd y 0)1(σ.故⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==+-=DDDd d y yd 24]1)1[(πσσσ.解法4 由形心计算公式知S y yd D⎰⎰=σ. 由于积分域D 关于1=y 对称，则1=y ，而24π-=S ，故 ⎰⎰-=Dyd 24πσ.例5.9设二元函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+<+≤+=,2|||x | 1 ,1, 1|||x | , ),(222y y x y x y x f 计算二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(，其中}.2|||||),{(≤+=y x y x D解 原式=⎰⎰⎰⎰++-+θθθθπρθcos sin 2cos sin 1201021044d d dy x dx x⎰++=20cos sin 431πθθθd=++=⎰2)4sin(2431ππθθd )12ln(2431++ 例5.10 计算⎰⎰D y σd 2,其中D 由)20()cos 1()sin (π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与0=y 围成.解 ⎰⎰⎰⎰⎰==Dax y a dx x y dy y dx d y ππσ20)(020322)(31 ⎰--=π2033)cos 1()cos 1(31dt t a t a ⎰⎰==ππ0842084sin 33222sin 316udu a ut dtt a 令4420841235221436587364sin 364a a udu a πππ=⋅⋅⋅⋅⋅==⎰.例5.11 设D 是全,⎩⎨⎧≤≤-=，x x x f 其它,021,)(计算⎰⎰-Dy x f x f σd )()(2.解 原式=49)(1222122=-⎰⎰+--dy y x x dx x x例5.12计算⎰⎰-+Dy y x σd 222,其中D 由422≤+y x 所确定.解 ⎰⎰-+Dd y y x σ222σσd y y x d y x y D D ⎰⎰⎰⎰-++--=21)2()2(2222])2()2([)2(11222222σσσd y y x d y y x d y x y D DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=σσd y x y d y y x D D⎰⎰⎰⎰--+-+=1)2(2)2(2222⎰⎰⎰⎰=-+=ππθπρρρθρθρρθ2020sin 20239)sin 2(2d d d d .例5.13计算⎰⎰+-Dy xe y x σd },min{)(22,其中D 为全平面.解⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-+-+=12222222)()()(},min{D D y xy xy xDd ye d xe d e y x σσσ⎰⎰∞+∞-∞---⋅=yy x dx e xe dy 222dy e y ⎰+∞∞---=222212122ππ-=-=-=⎰∞+∞--dt e ty t .注：⎰∞+∞--=πdt e t 2，这是概率论中一个常用结论.例5.14设)(x f 在区间]1,0[上连续,且⎰=1d )(A x x f ,求⎰⎰11.d )()(d xy y f x f x 解 由对称性知⎰⎰11d )()(d xy y f x f x ⎰⎰≤≤≤≤=1010)()(21y x dxdy y f x f .2)()(2121010A dy y f dx x f ==⎰⎰ 题型二 累次积分交换次序及计算例5.16 交换下列累次积分次序1) ⎰⎰-=2210;d ),(d y y x y x f y I2) ⎰⎰⎰⎰--+=x x x y y x f x y y x f x I 2021201;d ),(d d ),(d 23) ⎰⎰=202;d ),(d xxy y x f x I解 （1） ⎰⎰⎰⎰-+=1212022),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx I .（2） ⎰⎰---=102112),(yy dx y x f dy I .（3） ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=1021422),(),(),(y yy yydx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy I .例5.17 交换累次积分⎰⎰-=24cos 20d )sin ,cos (d ππθρρθρθρθa f I 的次序)0(>a .解 θρc o s 2a =是圆ax y x 222=+，则θρθρθρρθρθρθρρρπρρd f d d f d I aaa aaa⎰⎰⎰⎰--+=202arccos 4222arccos2arccos)sin ,cos ()sin ,cos (例5.18累次积分⎰⎰2cos 0d )sin ,cos (d πθρρθρθρθf 可写成A) ⎰⎰-201,),(d y y dx y x f y B) ⎰⎰-21010,),(d y dx y x f y C) ⎰⎰110,d ),(d y y x f x D) ⎰⎰-210.d ),(d x x y y x f x例5.19计算下列累次积分1）;d d 222y e x xy ⎰⎰-2）;d 2sind d 2sind 24221⎰⎰⎰⎰+xxxy yxx y yxy ππ3）)0(;d )(41d 22222>+-⎰⎰-+--a y y x a x x a a xa；解 1）交换积分次序得⎰⎰⎰⎰⎰---==22022222xyy y y dy ye dx e dy dy e dx)1(21214202---=-=e e y. 2）交换积分次序得⎰⎰⎰⎰+=-=-==213212221842sin42cos22sin2πππππππyyd dy yy dx yxdy y y原式.3）将原累次积分化为极坐标下先ρ后θ的累次积分得a d a d a 222404sin 2022-=-=⎰⎰--πρρρθπθ原式例5.20设)(x f 为连续. 证明: ⎰⎰⎰--=-DA Adt t A t f dxdy y x f |)|)(()(2|| ,2|| :A y A x D ≤≤证 ⎰⎰⎰⎰---=-DAA A A dy y x f dx dxdy y x f 2222)()(⎰⎰+--=-2222)()(A x A x A A du u f dy y x f （令u y x =-）⎰⎰⎰⎰-+-=-DA A A x A x du u f dx dxdy y x f 2222)()( （交换积分次序）⎰⎰⎰⎰-+--+=22220)()(A A u AA u A Adx u f du dx u f dudu u A u f A A))((⎰--=题型三 与二重积分有关的综合题：例5.21设)(x f 为连续函数，⎰⎰=tytdx x f dy t F )()(1，则)2(F '等于A ）)2(2fB ）)2(fC ）)2(f -D ）0 解法1 交换积分次序得⎰⎰⎰-==t x tdx x f x dy x f dx t F 111)()1()()(.则 )()1()(t f t t F -='，则)2()2(f F =' 故应选（B ）.解法2 排除法 1)(=t f例5.22设区域D 由y y x ≤+22和0≥x 所确定，),(y x f 为D 上的连续函数，且⎰⎰---=Dv u v u f y x y x f .d d ),(81),(22π求),(y x f .解法1 令A dudv v u f D=⎰⎰),(， ①则 A y x y x f π81),(22---=.将A y x y x f π81),(22---=代入①式得⎰⎰=---DA dxdy A y x ]81[22π，即⎰⎰=---DA A dxdy y x 221，于是 )322(61121121s i n 022022-=-=--=⎰⎰⎰⎰πρρρθθπd d dxdy y x A D .故 )322(341),(22----=ππy x y x f . 解法2 等式dudv v u f y x y x f D⎰⎰---=),(81),(22π两端在区域D 上作二重积分得dudv v u f dxdy y x dxdy y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=),(1),(22.则)322(61121),(22-=--=⎰⎰⎰⎰πdxdy y x dxdy y x f DD. （解法一中已算过） 故 )322(341),(22----=ππy x y x f . 例5.23设)(t f 在),0[+∞上连续,且满足⎰⎰≤+++=22224224d d )21()(t y x t y x y x f e t f π,求)(t f . 解 显然1)0(=f ，且⎰⎰⎰⎰⎰≤+==+222420202022)21(2)21()21(t y x t t d f d f d dxdy y x f πρρρπρρρθ，则 ρρρππd f e t f t t ⎰+=204)21(2)(2.)(88)(24t tf te t f t πππ+='2242848)4(]8[)(t tdt t tdt e C t C dt e te e t f ππππππ+=+=⎰⎰-⎰.由1)0(=f 得1=C ，因此242)14()(t e t t f ππ+=.例5.24设),(y x f 是定义在10,10≤≤≤≤y x 上的连续函数,1)0,0(-=f ,求极限321d ),(d lim0x x t xx euu t f t -→-⎰⎰+.解法1 交换积分次序得)~1(),(lim 1),(lim3303232x e x dtu t f du e duu t f dt x xu x xx t xx -→-→--=-⎰⎰⎰⎰++203),(lim2xdt x t f x x ⎰+→-= （应用罗必达法则）2203),(lim x x c f x x +→-= （20x c ≤≤，这里应用了积分中值定理） 31)0,0(31=-=f . 解法2 由以上分析知⎰⎰⎰⎰-=-=2),(),(),(x Dt xS f dtdu u t f du u t f dt ηξ，其中S D ,),(∈ηξ为D 的面积.而 ⎰⎰⎰=-==2203031)(x x xt x dt t x du dt S ,故 313)0,0(31),(l i m 1),(l i m 3300032=-=⋅-=-++→-→⎰⎰f x x f e du u t f dt x xx t x x ηξ 例5.25 设),(y x f 在单位圆122≤+y x 上有连续一阶偏导数,且在边界上取值为零,证明:=)0,0(f y x yx yf xf D y x d d 21lim 220⎰⎰++-+→πε其中D 为圆环域≤+≤222y x ε 1. 证 从积分域和被积函数不难看出，应在极坐标下将本题中的重积分化为累次积分.⎰⎰⎰⎰+=++περθρθρθθρθρθθ20122)]sin ,cos (sin )sin ,cos ([cos d f f d dxdy y x yf xf y x Dy xθθεθεθθρθρππεd f d f ⎰⎰-==20201)sin ,cos (])sin ,cos ([]2,0[),sin ,cos (2πθθεθεπ∈-=f 则 )0,0()s i n ,c o s (lim 22lim 0220f f dxdy y x yf xf Dyx ==++-++→→⎰⎰θεθεπεε 题型四 与二重积分有关的积分不等式问题例5.26设,d )(,d ||2,d )(1||||2231||||2122122⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+≤++==+=y x y x y x y x I xy I y x I σσσ则 A) 321I I I <<; B) 132I I I <<; D) 213I I I <<; D) ;123I I I <<解 先比较1I 和3I 的大小，由于1I 和3I 被积函数相同且非负，而1I 的积分域包含了3I 的积分域，则1I >3I .再比较2I 和3I ，2I 和3I 积分域相同，但xy y x 222≥+，则3I >2I . 从而有 1I >3I >2I . 故应选（B ）. 例5.27设⎰⎰≤++=1322)(y x d y x M σ，⎰⎰≤++=1222)(y x d y x N σ， σd eP y x y x ⎰⎰≤+---=12222)1(，则必有（ ）.（A ）P N M >> （B ）P M N >> （C ）N P M >> （D ）M P N >> 解 选（B ）例5.28设)(x f 在],[b a 上连续,且0)(>x f ,证明:⎰⎰-≥b ab aa b x x f x x f 2)(d )(1d )(. 证明 若记},),{(b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅=⋅b ab ab a b a Ddxdy y f x f dy y f dx x f dx x f dx x f )()()(1)()(1)(由于积分域D 关于x y =对称，则])()()()([21)(1)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋅b ab aDD dxdy x f y f dxdy y f x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥+=+=D D D dxdy dxdy y f x f y f x f dxdy y f x f y f x f 1)()(2)()()()()()(2122222)(a b -=.例5.29设)(x f 在]1,0[上单调减的正值函数,证明:⎰⎰⎰⎰≤112112d )(d )(d )(d )(xx f x x f xx xf xx xf证 若记}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，则⎰⎰⎰⎰-=101010122)()()()(dx x f dx x xf dx x xf dx x f I⎰⎰⎰⎰⋅-⋅=1101122)()()()(dy y f dx x xf dy y yf dx x f⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=DDDdxdy x y y f x f dxdy y f x xf dxdy y f x yf ))(()()()()()(222.由于D 关于x y =对称，则⎰⎰⎰⎰-=-=DDdxdy y x x f y f dxdy x y y f x f I ))(()())(()(22，]))(()())(()([2122⎰⎰⎰⎰-+-=DDdxdy y x x f y f dxdy x y y f x f Idxdy y f x f x y y f x f D⎰⎰--=)]()()[)(()(21. 由于)(x f 单调减且大于零，则0)]()()[)(()(≥--y f x f x y y f x f ，故0≥I . 原题得证.。