§５ 三重积分一、 三重积分的概念1 三重积分的物理解释设非均匀物体A 内分布着一种物质，其密度为(,,)x y z ρ，并假定ρ在A 上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个步骤得到A 的质量是(,,)Am x y z dxdydz ρ=⎰⎰⎰2 三重积分的定义P243-2443 三重积分的性质、可积条件 与二重积分类似线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等.二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分 1 长方体],[],[],[h k d c b a ⨯⨯上的积分定理21.15设[,][,][,]A a b c d e f =⨯⨯，f 是A 上的连续函数，那么f 在A 上的三重积分 可以化为先对z ，后对y,x 的积分：(,,)Af x y z dxdydz ⎰⎰⎰=(,,)bdfacedx dy f x y z dz ⎰⎰⎰，或先y x z →→：(,,)Af x y z dxdydz ⎰⎰⎰= (,,)f b deacdz dx f x y z dy ⎰⎰⎰等等（共6种），并且此时（f 连续时），各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Vb ad chkdz z y x f dy dx dxdydz z y x f ),,(),,(.2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分 简单区域（典型区域）的定义}),( , ),(),(|),,( {21D y x y x z z y x z z y x V ∈≤≤=, 其中D 为V 在XY 平面上的投影，{})()(,),(21x y y x y b x a y x D ≤≤≤≤= 或者 {})()(,),(21y x x y x d y c y x D ≤≤≤≤=),(),,(21y x z y x z 在D 上连续，)(),(21x y x y 在],[b a 上连续，)(),(21y x y x 在 ],[d c 上连续.方法 将三重积分先化为一个定积分与一个二重积分（先一后二），进而化为三个定积分.⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(=2211()(,)()(,)(,,)by x z x y ay x z x y dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰（3）公式解释“点—点，线—线，面—面”三重积分的直接计算方法举例（先一后二） 补例1 3(1)DdxdydzI x y z =+++⎰⎰⎰，D ：有平面1,0,0,0x y z x y z ++====所围成区域.P245 补例2 DxyI dxdydz x =⎰⎰⎰，D ：锥面222222z x y c a b =+，平面,0,0z c x y ===所围（,,0a b c >）例1⎰⎰⎰+V yx dxdydz22, V : y z x y z x x ===== , , 0 , 2 , 1. P245. 解 } 21 , 0 , 0|),,( {≤≤≤≤≤≤=x x y y z z y x V ,⎰⎰⎰=V⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤=+=+=+21,0021,021*******x x y yx x y x y x ydydx yx ydxdy y x dz dxdy ⎰⎰==+===2121022.2ln 212ln 21)ln(21dx dx y x x y y注 此例要求学生解答，学生画出积分区域的图形普遍困难，由此导出“求围定顶”法.3 三重积分的“求围定顶”法4 三重积分的“先二后一”（“截面法”）⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰hkD zdxdy z y x f dz ),,( ,其中V 介于平面k z =和h z =之间 , z D 是用平面z Z =截V 所得的截面. “先二后一”多用于围成V 的闭合曲面由一个方程给出的，二重积分部分的被积函数往往为常数，并且积分区域的面积函数可以求出的情况.例2 ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V d x d y d z c z b y a x 222222, V : 1222222≤++c z b y a x . P246解 ⎰⎰⎰=V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++V V V dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x 222222.解法1 (“先二后一”)⎰⎰⎰⎰⎰⎰=V aD xdydz dx a x dxdydz a x 022222,其中x D 为椭圆域 2222221ax c z b y -≤+, 即椭圆域11122222222≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a x c z a x b y ,其面积为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222222111a xbc a x c a x b ππ. 因此 ⎰⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=V aabc dx a x x abc dxdydz a x 022*******12ππ. 同理得 ⎰⎰⎰=V abc dV b y π15422 ,⎰⎰⎰=Vabc dV c z π15422. 因此⎰⎰⎰=⋅=a b ca b c ππ541543. 解法2 (“先一后二”)V 上下对称, 22ax 为z 的偶函数, ⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰'=V V dxdydz a x 222, 其中V '为V 在XOY 平面上方的部分, 其在XOY 平面上的投影为椭圆 12222≤+by a x . 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=--==≤+--≤+V b y ax b y ax c b y a x dxdy by a x a x cdz dxdy a x dxdydz a x 2222221102212212222222222 ⎰⎰-==============21232sin , cos 1cos 8πθθθθdr r r d abc br y ar x .⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=220242sin 2121cos πππθθθθd , ⎰⎰=-=====--=1122123152)1(12dt t t dr r rr t . 因此 ⎰⎰⎰=⋅⋅=V abc abc dxdydz ax ππ1541524822. 同理 …….于是⎰⎰⎰=⋅=a b ca b c ππ541543. 思考题 设⎰=12)(dx x f . 计算积分⎰⎰⎰Vd x d y d z z f y f x f )()()(, V : x z x y x ≤≤≤≤≤≤0 , 0 , 10.解⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤===Vxy x x xx dz z f dy y f dx x f dz z f y f x f 0,1010)()()()()()(⎰⎰⎰⎰==⎰========⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==220321)(020232|31)()(0t dt t dy y f d dy y f xdy y f t x x .三、三重积分换元法三重积分的变量替换公式设在三重积分 (,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰作变量替换：(,,)(,,)(,,){x x u v y y u v z z u v ωωω=== (,,)'u v D ω∈又设这一变换满足下列条件：（1） 建立了'D D ↔之间的一一对应；（2） x,y,z 在'D 内有关于,,u v ω的连续偏导数，并且其通变换：(,,),(,,),(,,)u u x y z v v x y z x y z ωω===在D 内有关于,,x y z 的连续偏导数；（3） Jacohi 行列式 (,,)(,,)uv uv uvx x x x y z J y y y u v z z z ωωωω∂==∂在'D 内无零点，则(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰='((,,),(,,),(,,))D f x u v y u v z u v J dudvd ωωωω⎰⎰⎰ （4）公式把xyz 坐标系下的三重积分化为uv ω坐标系下的三重积分. 和二重积分类似，当 J 在'D 内个别点或线段上为零时，上述公式仍成立.特别地有1 柱面坐标代换cos ,sin ,x r y r z z θθ===，(0,02,)r z θπ≥≤≤-∞<<+∞，(,,)(,,)x y z J r r z θ∂==∂三重积分的柱坐标换元公式为(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰='(cos ,sin ,)D f r r z rd drdz θθθ⎰⎰⎰.用柱坐标计算三重积分，通常是找出'D 在r θ平面上的投影区域r θσ，那当{}12'(,,)|(,)(,),(,)r D x r z r z z r r θθθθθσ=≤≤∈时，(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰=21(,)(,)(,,)r z r z r drd f r r z dz θθθσθθθ⎰⎰⎰先对z 积分，再计算r θσ上的三重积分，其中二重积分能用极坐标来计算（极坐标系下 的二重积分）适用于22()f x y +型被积函数，或积分区域中二重积分部分的积分区域适用于极坐标变换.例3⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22, V : 4 , )(222==+z z y x . 解 P2482 球坐标变换 球面坐标设空间一点(,,)M x y z 在zy 平面上的投影为P （x,y ），(0)OM ρρ=≤<+∞，ϕ是有向线 段OM 与z 轴的正向之间的交角（0ϕπ≤≤），θ是两平面xz 与POM 的交角（02θπ≤≤）， 则(,,)ρϕθ叫做点M 的球面坐标.在球面坐标中，有三族坐标平面：ρ=常数，以原点为中心的球面；ϕ=常数，以原点 为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ=常数，过z 轴的柱面（两两正交是正交坐标系）.点M 的直角坐标与它的球面坐标的点系为：sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθρϕθρϕ===，02,0,0θπϕπρ≤≤≤≤≤<+∞2||sin (0,0,02)J ρϕρϕπθπ=≤<+∞≤≤≤≤(,,)Df x y z dxdydz ⎰⎰⎰=2'(sin cos ,sin sin ,cos )sin D f d d d ρϕθρϕθρϕρϕθϕρ⎰⎰⎰ （6）适用于积分区域或被积函数是222()f x y z ++型： 例4 P250 例5 P250补例3 DI zdxdydz =⎰⎰⎰，D 由上半球面2224(0)x y z z ++=≥和抛物面223x y z +=所围的区域.补例4 求球面2222(0)x y z rz r ++=>和锥面所围区域的体积V ，其中锥面是以Z 轴为轴， 顶角为2α的锥面。