2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。
(C) $-\frac{1}{3}$。
(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。
注：本题也可用特殊值法来判断。
2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。
(B) $1$。
(C) $0$。
(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。
3.设$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长，二次函数$y=(a-b)x^2-cx+b-a$在$x=1$时取最小值$-\frac{b}{8}$，则$\triangle ABC$是（）A) 等腰三角形。
(B) 锐角三角形。
(C) 钝角三角形。
(D) 直角三角形.答】D.解：由题意可得$\begin{cases} -c=-1 \\ b-a=-\frac{b}{4} \end{cases}$，解得$a=b+\frac{4}{5}c$，$c=\frac{5}{3}b$，$a=\frac{8}{3}b$，因此$\triangle ABC$是直角三角形，故选（D）。
4.已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则角A的度数是多少？解：锐角三角形ABC的垂心在三角形内部，如图所示。
设△ABC的外心为O，O为BC的中点，BO的延长线交外接圆于点E，连CE、AE，则CE//AH，AE//CH。
由于OB=AH=CE=2OD，所以∠OBD=30°，∠BOD=60°，所以∠A=∠BOD=60°。
因此答案为C。
5.设K是△ABC内任意一点，△KAB、△KBC、△XXX的重心分别为D、E、F，则△DEF：△ABC的值为多少？解：分别延长KD、KE、KF，与△ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P。
由于D、E、F分别为△KAB、△KBC、△KCA的重心，易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点，所以S△MNP=1/4S△ABC。
易证△DEF∽△MNP，且相似比为2:3，所以S△DEF=(2/3)^2S△MNP=(4/9)S△ABC。
因此，△DEF：△XXX的值为4/9，即答案为A。
6.袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是多少？解：设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球，则x,y,z都是正整数，且x≤5,y≤6,z≤7，x+y+z=15.因为y+z≤13，所以x可取值2，3，4，5.当x=2时，只有一种可能，即y=6,z=7；当x=3时，y+z=12，有2种可能，y=5,z=7或y=6,z=6；当x=4时，y+z=11，有3种可能，y=4,z=7或y=5,z=6或y=6,z=5；当x=5时，y+z=10，有4种可能，y=3,z=7或y=4,z=6或y=5,z=5或y=6,z=4.因此，共有1+2+3+4=10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种。
因此所求的概率为2/10=1/5，即答案为B。
二、填空题1.设 $x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1}$，$a$ 是 $x$ 的小数部分，$b$ 是 $-x$ 的小数部分，则 $a+b+3ab=$ $\dfrac{1}{33}$。
解：因为 $x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1}=2-1$，而$2<2+1<3$，所以 $a=x-2=2-1$。
又因为 $-x=-2-1$，而 $-3<-2-1<-2$，所以 $b=-x-(-3)=2-2$。
因此，$a+b=1$，$a+b+3ab=(a+b)(1-3ab)=1-2ab$。
代入 $a$ 和 $b$ 的值得$a+b+3ab=\dfrac{1}{33}$。
2.对于一切不小于 $2$ 的自然数 $n$，关于 $x$ 的一元二次方程 $x-(n+2)x-2n=$ 的两个根记作 $a_n$，$b_n$（$n\geq2$），则$1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}=$ $-\dfrac{(a_2-2)(b_2-2)(a_3-2)(b_3-2)\cdots(a_{2007}-2)(b_{2007}-2)}{4016}$。
解：由根与系数的关系得 $a_n+b_n=n+2$，$a_n\cdotb_n=-2n$。
所以，$(a_n-2)(b_n-2)=a_nb_n-2(a_n+b_n)+4=-2n^2-2(n+2)+4=-2n(n+1)$。
因此。
begin{aligned} 1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}&=-\dfrac{(a_2-2)(b_2-2)(a_3-2)(b_3-2)\cdots(a_{2007}-2)(b_{2007}-2)}{(2\cdot 3)(3\cdot 4)\cdots(2007\cdot 2008)} \\ &= -\dfrac{(-2\cdot 3)(-4\cdot 5)\cdots(-4014\cdot 4015)}{(2\cdot 3)(3\cdot 4)\cdots(2007\cdot 2008)} \\ &= -\dfrac{1}{4016}\end{aligned}3.已知直角梯形 $ABCD$ 的四条边长分别为 $AB=2$，$BC=CD=10$，$AD=6$，过 $B$、$D$ 两点作圆，与$BA$ 的延长线交于点 $E$，与 $CB$ 的延长线交于点 $F$，则 $BE-BF$ 的值为 $4$。
解：延长 $CD$ 交圆 $O$ 于点 $G$，设 $BE$，$DG$ 的中点分别为点 $M$，$N$，则易知 $AM=DN$。
因为$BC=CD=10$，由割线定理，易证 $BF=DG$，所以 $BE-BF=BE-DG=2(BM-DN)=2(BM-AM)=2AB=4$。
4.若 $100a+64$ 和 $201a+64$ 均为四位数，且均为完全平方数，则整数 $a$ 的值是 $17$。
解：设 $100a+64=m$，$201a+64=n$，则 $32\leqm,n<100$。
两式相减得 $101a=n-m$，因为 $101$ 为质数，所以 $a$ 是 $101$ 的倍数。
又因为 $32\leq m,n<100$，所以$0\leq a\leq 17$。
代入 $a=1,2,\ldots,17$，发现只有 $a=17$ 时$m$ 和 $n$ 均为完全平方数。
101a=n^2-m^2=(n+m)(n-m)，因为101是质数，且-101<n-m<101，所以n+m=101，故a=n-m=2n-101.代入201a+64=n，整理得n-402n+=0，解得n=59，或22（舍去）。
所以a=2n-101=17.第二试（A）一、（本题满分20分）设m,n为正整数，且m≠2，如果对一切实数t，二次函数y=x^2+(3-mt)x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2t+n，求m,n的值。
解：因为一元二次方程x+(3-mt)x-3mt=0的两根分别为mt和-3，所以二次函数y=2x^2+(3-mt)x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为mt+3.由题意，mt+3≥2t+n，即(mt+3)≥(2t+n)，即(m-4)t+(6m-4n)t+9-n≥0.由题意知，m-4≠0，且上式对一切实数XXX成立，所以2≤m，且24(mn-6)≤0。
即mn≤6.所以，m≥2，且m=3，n=1；或m=6，n=2.二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N。
证明：∠AFN=∠DME。
证明：设MN与EF交于点P。
因为NE//BC，所以△PNE∽△PBC，故PB/PC=PE/PN。
又因为ME//BF，所以△PME∽△PBF，故PB/PC=PF/PM。
因此，PB×PE=PN×PC=PM×PF。
又因为∠XXX∠MPE，所以△PNF∽△PMC，故∠PNF=∠PMC，故NF//MC，因此∠ANF=∠EDM。
又因为ME//BF，所以∠FAN=∠XXX。
因此，∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED，即∠AFN=∠DME。
三、（本题满分25分）已知a是正整数，如果关于x的方程x+(a+17)x+(38-a)x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根。
解：观察易知，方程有一个整数根x=1.将方程的左边分解因式，得x-1)(x+8)(x+a+9)=0.因为另外两个根也是整数，所以x+a+9的因数只可能是±1,±2,±4,±7,±8,±14,±28,±56.因此，a+9的值只可能是-10,-11,-13,-16,-17,-23,-37,-65.只有a=56-(1+8+9)=38时，方程的另外两个整数根为-8和-9.因为$a$是正整数，所以关于$x$的方程$x^2+(a+18)x+56=0$的判别式$\Delta=(a+18)^2-224$大于零，它一定有两个不同的实数根。