作业1. 阐述优化设计数学模型的三要素。

写出一般形式的数学模型。

答：建立最优化问题数学模型的三要素：（1）决策变量和参数。

决策变量是由数学模型的解确定的未知数。

参数表示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。

（2）约束或限制条件。

由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。

（3）目标函数。

这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。

2. 阐述设计可行域和不可行域的基本概念答：约束对设计点在设计空间的活动范围有所限制。

凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的可能活动范围，称可行设计区域(可行域)。

不能满足所有约束条件的设计空间便是不可行设计区域(不可行域)。

3、无约束局部最优解的必要条件？答： （1）一元函数(即单变量函数) 极值点存在的必要条件如果函数f (x )的一阶导数f’(x )存在的话，则欲使x *为极值点的必要条件为： f’(x *)=0但使f’(x *)=0的点并不一定部是极值点；使函数f (x )的一阶导数f’(x )=0的点称为函数f (x )的驻点；极值点(对存在导数的函数)必为驻点，但驻点不一定是极值点。

至于驻点是否为极值点可以通过二阶导数f’’(x )=0来判断。

（2）n 元函数在定义域内极值点X *存在的必要条件为即对每一个变量的一阶偏导数值必须为零，或者说梯度为零(n 维零向量)。

▽f (X*)=0是多元函数极值点存在的必要条件，而并非充分条件；满足▽f (X*)=0的点X *称为驻点，至于驻点是否为极值点，尚须通过二阶偏导数矩阵来判断。

3. 阐述约束优化问题最优解的K-T 条件。

答：K-T 条件可阐述为：如果X (k)是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度▽f (X (k))可表示成该点诸约束面梯度为▽g u (X (k))、▽h v (X (k))的如下线性组合：()()()()0****21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∇T n x X f x X f x X f X f式中：q —在X (k)点的不等式约束面数；j —在X (k)点的等式约束面数；λu (u =1,2,…q )、μv (v =1,2,…j )——非负值的乘子，亦称拉格朗日乘子。

如无等式约束，而全部是不等式约束，则式(3-20)中j ＝0，第三项全部为零。

也可以对K-T 条件用图形来说明。

式(3-20)表明，如果X (k)，是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度▽f (X (k))应落在该点诸约束面梯度▽g u (X (k))、▽h v (X (k))在设计空间所组成的锥角范围内。

如图3-12所示，图(a )中设计点X (k)不是约束极值点，图(b )的设计点X (k)是约束极值点。

5. 给出图中的可行设计点、边界设计点和不可行设计点。

6题图 二维设计空间答：内点X (1)、边界点X (3) 均为可行设计点，边界点X (3) 为边界设计点，外点X (2)则为不可行设计点。

()()()()()()011=∇-∇-∇∑∑==jv k v v q u k u u k X h X g Xf μλ6、根据逼近思想所构造的优化计算方法的基本规则是什么？答：基本思想是：在设计空间从一个出始设计点X (0)开始，应用某一规定的算法，沿某一方向S (0)和步长α(0)产生改进设计的新点X (1)，使得f (X (1))＜f (X (0))，然后再从X (1)点开始，仍应用同一算法，沿某一方向S (1)和步长α(1)，产生又有改进的设计新点X (2)，使得f (X (2))＜f (X (1))，这样一步一步地搜索下去，使目标函数值步步下降，直至得到满足所规定精度要求的、逼 近理论极小点的X *点为止。

7、数值迭代计算中，通常采用哪三种终止条件？答： 1)点距准则 当相邻两迭代点X (k)，X (k+1)之间的距离已达到充分小时，即小于或等于规定的某一很小正数ε时，迭代终止。

一般用两个迭代点向量差的模来表示，即 用X (k+1)和X (k)在各坐标轴上的分量差来表示，即2)函数下降量准则 当相邻两迭代点X (k)，X (k+1)的目 标 函数值的下降量已达到充分小时。

即小于或等于规定的莱一很小正数ε时，迭代终止。

一般用目标函数值下降量的绝对值来表示，即 3)梯度准则 当目标函数在迭代点X (k+1)的梯度已达到充分小时，即小于或等于规定的某一很小正数ε时，迭代终止。

一般用梯度向量的模来表示，即 8. 对于约束极值问题 ()()()()()0004s.t.3min132222112221≤-=≤-=≤-+=+-=x g x g x x g x x f x x x x 试运用K-T 条件检验点()T *02=x 是否为约束极值点。

9. 说明函数梯度的性质。

答： (l)函数f (X )在其定义空间内某一点处的方向导数等于函数在该点处的梯度在这个方向上的投影；(2)梯度是矢量。

函数在其定义空间中的某一点处，其梯度标志着函数值增加最快或最速上升的方向。

注意，这仅是指f (X )在该点附近而言，函数在其定义空间中的每一个点处都对应着一个确定的梯度向量。

()()ε≤-+k k X X 1()()),,2,1(1n i X X k i k i =≤-+ε()()()()ε≤-+kk X f X f 1()()ε≤∇+1k X f ()()()00cos ,Tf X f X S f X S S ∂=∇•∇⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂负梯度方向必是函数值减小最快或最速下降的方向；(3)在目标函数等值线或等值面上的每一点处，函数的梯度▽f (X )指向函数等值线或等值面的外法向，亦即最速上升方向；函数在与其梯度正交的方向上变化率为零；(4)线性目标函数的梯度是一个常值向量，即在其定义空间中，其梯度处处相同；10.将优化问题()()()222143min -+-=x x X f ()05211≥--=x x X g()05.2212≥--=x x X g()013≥=x X g()024≥=x X g的目标函数等值线和约束曲线勾画出来，并确定：（1）可行域的范围(用阴影线画出)。

（2）无约束最优解()1*X 、())*(1X f ，约束最优解()2*X 、())*(2X f 。

（3）若再加入等式约束()021=-=x x X h ，约束最优解()3*X 、())*(3X f 。

10. 如图所示为机床主轴计算简图。

在设计时，有两个重要因素需要考虑，即主轴的自重和伸出端C 点的挠度。

试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学模型。

其中，C 点的挠度：()EI a l Fa y 32+=；()4464d D I -=π；E 为弹性模量。

材料的密度为ρ；外力F 给定。

11、选用优化算法时，一般需考虑哪几个因素？答：选择优化方法应综合考虑：1)设计变量是连续的还是离散的以及维数的多少。

维数较低可选用结构简单易于编程的方法，维数高的则应选择收敛速度较快的方法。

2)目标函数是单目标还是多目标，目标函数的连续性及其一阶、二阶偏导数是否存在以及是否易于求得，对于求导困难或导数不存在的应避免求导而采用直接法。

3)有无约束，约束条件是不等式约束，还是等式约束，还是两者同时兼有。

如具有等式约束，显然不能直接采用复合形法，内点惩罚函数法。

12.用外点法和用内点法求解()x X f nR D X =⊂∈m in ，()01:≥-=x X g D 最优化问题的惩罚s.t.函数。

答：用内点法求解D：g(X)=x-1≥0的约束最优化问题。

惩罚函数为13. 优化迭代逼近搜索中是在每一迭代点X(k)上利用函数在该点邻近局部性质的信息，确定一个搜索方向S(k+1)和搜索步长a，求新的迭代点X(k+1)＝X(k)+αS(k+1)。

其中，最速下降法（梯度法）、共轭梯度法和牛顿法的搜索方向是如何确定？14. 什么是共轭梯度法答：共轭梯度法是共轭方向发中的一种，因为在该方法中每一个共轭响亮都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来的，所以称作共轭梯度法。

寻求共轭方向作为探索方向的最优化方法称为共轭梯度法。

15. 阐述变尺度法的基本思想答：变尺度法的基本思想梯度法和阻尼牛顿法的迭代公式，即X(k+1)= X(k)−α(k)▽f(X(k)) X(k+1)= X(k)−α(k)[H(X(k))]-1▽f(X(k)) 变尺度法所构成的迭代公式为X(k+1)= X(k)−α(k) A(k)▽f(X(k)) （5-18）变尺度法的搜索方向应为S(k)=−A(k)▽f(X(k))；A(k)是根据需要构造的一个n×n阶对称矩阵。

若在初始点X(0)取A(0)为单位矩阵I，则式(5-18)为的梯度法代公式，搜索方向为负梯度方向。

迭代过程不断地修正构造矩阵A(k)，使它在整个迭代过程中逐步地逼近目标函数在极小点处的赫森矩阵的逆矩阵。

当A(k)＝[H(X(k))]-1时，式(5-18)为阻尼牛顿法迭代公式。

这样,当迭代点逼近最优点时,搜索方向趋于牛顿方向。

这种构想,综合了梯度法和牛顿法的优点,不计算[H(X(k))]-1,而用变化的构造矩阵A(k)去逼近它。

构造矩阵A(k)在迭代过程中是变化的,称为变尺度矩阵。

由于变尺度法的迭代形式与牛顿法类似,不同的是在迭代公式中用A(k)来逼近[H(X(k))]-1，所以又称为“拟牛顿法”变尺度法的搜索方向S(k)=−A(k)▽f(X(k)),最终要逼近牛顿方向S(k)=− [H(X(k))]-1▽f(X(k))，故又称为拟牛顿方向。

16. 分析比较牛顿法、梯度法和Powell法的特点。

答：梯度法方法特点：需计算一阶偏导数。

方法简单，可靠性较好，可稳定地使函数值下降。

对初始点要求不严。

但收敛速度十分缓慢，特别是当迭代点进入最优点邻域时，更为严重。

使用条件：目标函数必须存在一阶偏导数。

适于精度要求不高的优化问题。

牛顿法方法特点：具有二次收敛性，在极值点附近收敛速度快。

但要计算函数的Hessian矩阵及其逆阵。

准备工作量大，程序复杂，所需贮存量大。

要求迭代点Hessian矩阵非奇异且为定型（正定或负定），要求初始点靠近极值点。

可靠性较差。

使用条件：目标函数存在一阶或二阶偏导数。

鲍威尔法方法特点：属于共轭方向法。

具有直接法的共同优点，且具有二次收敛性，收敛速度较快，可靠性也比较好。

存贮量少。

程序较复杂。

使用条件：用于维数较高的目标函数（50维以下）其他同上。

17. 已知约束优化问题的数学模型()()()43min 2212---=⊂∈x x X f R D X s.t. ()05211≥--=x x X g()05.2212≥+-=x x X g()013≥=x X g()024≥=x X g()021=-=x x X h试写出混合型罚函数。