勾股定理知识总结:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2= c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用: （1 ）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3 ）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a +b = c ,那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1 ）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c;（2 ）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2= a2+b2，则△ ABC是以/C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ ABC是以/C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ ABC为锐角三角形）三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
勾股定理练习一•填空题：1. 在Rt△ ABC 中，/ C=90 °（1 ）若a=5 , b=12，贝U c= _____ ;（2）b=8 , c=17，则S △ ABC = ______ 。
2. 若一个三角形的三边之比为 5 : 12 : 13，则这个三角形是__________ （按角分类）。
3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为_____________ 。
4 •传说,古埃及人曾用"拉绳”的方法画直角，现有一根长24厘米的绳子，请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为___________ 厘米, ______ 厘米, ________ 厘米,其中的道理是________________________ .5.命题“对顶角相等”的逆命题为_______________________ ,它是―命题•（填“真”或“假”）6 •观察下列各式：32+4 2=52; 82+6 2=10 2; 15 2+82=17 2; 24 2+10 2=26 2;……;你有没有发现其中的规律?请用你发现的规律写出接下来的式子:7 •禾U用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图爽给出的）•从图中可以看到：大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积.+ __________ ,化简后即为c2= ____________ （最早由三国时期的数学家赵因而c2=个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c , （a>b=c ）,那么a 2 : b 2 : c 2=2 : 1 ： 1。
其中正确的是（A 、①②B 、①③C 、①④D 、②④13. 三角形的三边长为（a+b ） 2=c 2+2ab,则这个三角形是（）A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形.14. 如图一轮船以16海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港 口 A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里15. 已知等腰三角形的腰长为 10 , 一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）A 、40B 、80C 、40 或 360D 、80 或 36016 .某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平 方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）8 . 一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是8的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是 二•选择题：9 .观察下列几组数据：⑴ 8, 15, 17;⑵ 7, 12, 15; （3）12, 15, 20;⑷ 7, 24, 25. 的三边长的有（）组 A. 1B. 2C. 3其中能作为直角三角形 D. 410 .三个正方形的面积如图，正方形 A 的面积为（） A. 6B. 4C. 64D. 811. 已知直角三角形的两条边长分别是 5和12，则第三边为 （D.12.下列命题①如果 a 、b 、c 为一组勾股数，那么 4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是 5、12，那么斜边必是13 ;③如果一个三角形的三边是 12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一 A 、 450a 元B 、 225a 元三.解答题:17 .如图1，在单位正方形组成的网格图中标有 AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A ） CD 、EF 、GH （C ） AB 、CD 、GH(B ) AB 、EF 、GH (D ) AB 、CD 、EFrB<30m20m150第16题图元C 、如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于19 .有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,门的对角线长，已知门宽4尺，求竹竿高与门高。
20 .一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1 )这个梯子的顶端距地面有多高? (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？第20题图21.如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点，求证：DE : DM : EM=3 : 4 : 5。
图53、如图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点, 且DE丄DF, 若BE=12 , CF=5 .求线段EF的长。
八年级上北师大版第一章勾股定理测试题、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是（）•（A）9，12，15 （B）15，32，39 （C）16，30, 32 （D）9，40, 412. 如图1，直角三角形ABC的周长为24，且AB : BC=5 : 3，则AC= （）（A）6 （B）8 （C）10 （D）123. 已知：如图2，以Rt △ ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB = 3,则图中阴影部分的面积为（）.9 9（A）9 （ B ） 3 （C）—（D）-4 24. 如图3，在△ ABC 中，AD 丄BC 与D , AB=17 , BD=15 , DC=6，贝U AC 的长为（）.（A）11 （ B ）10 （C）9 （D）85.若三角形三边长为a、b、c,且满足等式 2 2（a b） c 2ab，则此三角形是（）.（A）锐角三角形（B ）钝角三角形（C）等腰直角三角形(D）直角三角形6.直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为().2060(A) 6(B ) 8.5(C) (D)13137.高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为().(A) 3(B ) 4(C) 5(D)68.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一-周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需()(A) 6 秒(B ) 5 秒(C) 4 秒(D )3秒9.我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分2别是a、b，那么（a b）的值为（）(A) 49(B) 25(C) 13(D) 110.如图5所示，在长方形 ABCD 中，E 、F 分别是 AB 、BC 上的点，且 BE=12 , BF=16，则由点 E到F 的最短距离为()(A ) 20 ( B ) 24 (C ) 28(D ) 32、填空题（每小题 3分，共30分）11.写出两组直角三角形的三边长（要求都是勾股数）12.如图6 （ 1 ）、（2）中，（1 ）正方形 A 的面积为(2 )斜边 x= ______________ .分别记为S i ，S 2，则S + S 2的值等于 ___________14. 四根小木棒的长分别为 5cm ，8cm ， 12cm ， 13cm ，任选三根组成三角形，其中有_______ 个直角三角形.15. 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线 AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为 _____________ .三、简答题（50 分）17. （ 8分）如图10 ,方格纸上每个小正方形的面积为1个单位.（1）在方格纸上，以线段 AB 为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法 （2 ）你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗？18. （8分）如图11，这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘 AB=CD=20m ，点E 在CD 上, CE=2m ，一滑行爱好者从 A 点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可 以忽略不计，结果取整数）13.如图7,已知在Rt △ ABC 中， ACB RtAB 4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积16. (8 分)如图 9, AB=4 , BC=3 , CD=13 , AD=12，/ B=90 ，求四边形ABCD 的面积.19. （8分）如图12，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方秒，飞机距离这个男孩头顶50000米•飞机每小时飞行多少千米?20. （8分）如图13 （1 ）所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图知展开图中每个正方形的边长为 1.（1 ）求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条.（2 ）试比较立体图中/ ABC与平面展开图中A/ B/C/的大小关系21. （8分）如图14，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米.（1 ）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？4000米处，过了2013 （2）所示.已答案提示： 一、选择题 1.C2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.C9.A10.A二、 填空题〃1511•略 12. ( 1 ) 36 , (2 ) 13 13. 2 n 14. 115.4三、 简答题I ~22-16.在 Rt △ ABC 中，AC= 3 45.2 2 2 2 2 2又因为 5 12 13 ,即 AD AC CD .所以/ DAC=90 ° . 所以S 四边形ABCDS Rt ACDS Rt ABC17. 略18. 约22米.根据半圆柱的展开图可计算得： 19. 如图12，在Rt △ ABC 中，根据勾股 定理可知，i 122-BC= .. 50004000 3000 (米).3000 - 20=150 米/ 秒=540 千米 / 小 所以飞机每小时飞行 540千米.1 3 415 12=6+30=36. 2221. (1 ) 7米；(2)不是.设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，得方程,X2 252 (24 4)2，解得x=15，所以梯子向后滑动了8米.AE= 182(4 )222 米.一420. (1 ) .10 ； (2) 4 条4O0D时.。