2011年上海高考数学试卷（文）
一．填空题（每小题4分，总56分）
1. 若全集U R =，集合{1}A x x =≥，则U C A =
2. 计算3lim(1)3
n n
n →∞
-
+= 3. 若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --= 4. 函数2sin cos y x x =-的最大值为
5. 若直线l 过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l 得方程为
6. 不等式
1
1x
<的解为 7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为 8. 在相距2千米的,A B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则,A C 两点
之间的距离是 千米.
9. 若变量,x y 满足条件30
350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩
，则z x y =+得最大值为
10. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市
数分别为4，12， 8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 11. 行列式
(,,,{1,1,2}a b
a b c d c d
∈-所有可能的值中，最大的是 12. 在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 13. 随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个
月的天数相同，结果精确到0.001） 14. 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的
值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 二．选择题（每小题5分，总20分）
15.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） （A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2
y x = （D ）13
y x = 16.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
（A ）2
2
2a b ab +> （B ）a b +≥ （C ）
11
a b +> （D ）2b a a b +≥
A
B
D
C
A 1
B 1
C 1
D 1
17.若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为,E F ，则（ ） （A ）E F Ø （B ）E F Ù （C ）E F = （D ）E
F =∅
18.设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 三．解答题
19.（本题满分12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，求2z
20.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求 （1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四面体11AB D C 的体积
21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数()23x
x
f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠ （1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；
（2）若0a b ⋅<，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围.
22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知椭圆22
2:1x C y m
+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，
定点A 的坐标为(2,0)
（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； （2）若3m =，求PA 的最大值与最小值； （3）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围.
23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*)n N ∈.将集合
{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,
,,n c c c c
（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； （2）数列12340,,,
,c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？请说明理由；
（3）求数列{}n c 的前4n 项和4(*)n S n N ∈.
2011年上海高考数学试题（文科）答案
一、填空题
1、{|1}x x <；
2、2-；
3、
3
2
-；45、2110x y +-=；6、0x <或1x >；7、
3π；
8；9、52；10、2；11、6；12、15
2
；13、0.985；14、[2,7]-。

二、选择题
15、A ；16.D ；17、A ；18、B 。

三、解答题
19、解： 1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-………………（4分）
设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，………………（12分）
∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+ ………………（12分）
20、解：⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ，∵ 1111//,BD B D AB AD =，
∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为11AB D ∠，记11AB D θ∠=，
D
B
2221111111cos 210AB B D AD AB B D θ+-==
⨯ ∴ 异面直线BD 与1AB
所成角为。

⑵ 连11,,AC CB CD ，则所求四面体的体积
111111112
42433
ABCD A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=。

21、解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则
121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+-
∵ 121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数。

当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数。

⑵ (1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>
当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2a
x b >-；
当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2a
x b
<-。

22、解：⑴ 2m =，椭圆方程为2
214
x y +=
，c ==∴
左、右焦点坐标为(。

⑵ 3m =，椭圆方程为2
219
x y +=，设(,)P x y ，则
22
2
2
2
2891
||(2)(2)1()(33)9942
x PA x y x x x =-+=-+-=-+-≤≤
∴ 94x =
时min ||2
PA =； 3x =-时max ||5PA =。

⑶ 设动点(,)P x y ，则
2222
2
2
2
2
2222124||(2)(2)1()5()11
x m m m PA x y x x m x m m m m m -=-+=-+-=--+-≤≤--
∵ 当x m =时，||PA 取最小值，且22
10m m ->，∴ 2
221
m m m ≥-且1m >
解得11m <≤
23.解：⑴ 三项分别为9,15,21。

⑵ 12340,,,
,c c c c 分别为
9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37, 39,41,42,43,45,47,48,49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67
⑶ 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+ ∵ 63656667k k k k +<+<+<+
∴ *63(43)
65(42),66(41)67(4)
n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪
=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩。

43424142421k k k k c c c c k ---+++=+
2412344342414(1)
()()242112332
n n n n n n n S c c c c c c c c n n n ---+=++++++++=⨯+=+。