三直线的参数方程
（课前部分）
编写者:
【学习目标】
理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。

【学习重点】
直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。

【学习难点】
理解直线的参数方程中t 的几何意义.
【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题
通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。

【复习回顾】
1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？
2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？
3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？
【自主学习】
大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。

那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？
已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？
设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标
分别为M0（x0,y0）、M （x,y）
如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？
通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程.
请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？
根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？
通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。

（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。

（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。

（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。

画图找到这些点，做好标注！
有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。

由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手画出图形，写出这个向量e 的坐标。

将你的答案与教材中的答案进行对比，哪一个更好呢？你还有没有更好的办法进行求解呢？）若把直线的参数方程的标准形式
由此，易得参数t 具有如下的性质：若直线l 上两点A、B 所对应的参数分别为t A,t B ，则性质一：A、B 两点之间的距离为| AB | |t A t B |，特别地，A、B 两点到M 0的距离分别为
|t A |,|t B |.
性质二：A、B 两点的中点所对应的参数为tA tB，若M0是线段AB 的中点，则
2
t A t B 0 ，反之亦然。

（你还能提出和解决哪些问题？）
通过对参数t 所具有的性质的分析，请同学们动手做一做教材的例2，然后将你的答案与教材的进行对比，一定要规范自己的书写步骤呦！当a 2b21时，t没有上述的几何意义，我
们称起为非标准形式。

将下面参数方程的一般式化成标准式？
注意：只有直线参数方程的标准式的t 才具有相应的几何意义，一般形式的弦长公式如下：
|M0M | a2b2|t | |M1M 2 | a2b2|t1 t2 |
当我们利用直线参数方程求解时，往往题中给的参数方程并不是标准式，例如：动点M做等速直
线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9,12 ，运动开始时，点位于A（1，1），选取时间t 为参数，求点M的轨迹的参数方程。

请思考:此时的t 有没有前述的几何意义?我们怎么办呢？
x x 0
y y 0
改写为：
t cos
t sin
t 为参数，[0, ) )
x
y
a
b
t
t（ t为参数）
当a,b 满足什么条件，可
使
t 有上述的几何意
义？
9t
12 t
（ t 为参数）
[ 质疑汇总]
（1）个人自学问题:
（2）组内共同讨论仍然存在的问题
[ 自学总结] 请同学们自己构建知识网络。

y y0 2b2( a 2 b 2t)
a
2
b
2
同学们，通过大家的自主学习我想每个人都有不同的收获，我们对知识掌握的是否像我们想象的那样毫无问题呢？下面我们自己来检测一下吧！当你竭尽全力，时间自
会主持公道
将你的答案与教材中的答案进行对比，哪一个更好呢？你还有没有更好的办法进行求解呢？） 若把直线的参数方程的标准形式
2）直线 x y 1 0 的一个参数方程是 勇攀高峰：
1、、直线 l 过点 P 0（ 4,0），倾斜角为 ，且与圆 x 2 y 2 7相交于 A 、B 两点。

6
（ 1）求弦长 AB.
（2）求 P 0A 和 P 0B 的长。

2、已知经过点 P （2,0）,斜率为 的直线和抛物线 相交于 A,B 两点 ,设线段 AB 的中点为 M, 求点 M 的坐
标 .
2
3、已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点 P （2，1）的直线交双曲线于 P 1，P 2，求线段 P 1P 2的 中点 M 的
轨迹方程。

x ＝2＋ t ，
4、求直线 （t 为参数 ）被双曲线 x 2－ y 2＝ 1 截得的弦长 ．
y ＝ 3t
登封造极：
已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60°的直线交椭圆于 A ， B 两点，若 FA =2FB ，求则椭圆的离心率。

小试牛刀：
1）直线
3 t sin 20 t cos 20 0
t 为参数）的倾斜角是（ A.20
B.70 0
C .110 0
D .160 0
三直线的参数方程（课上部分）
编写者:
展示交流:
我们小组要解决的问题
小组要解决问题的展示提纲
其他组展示的问题及成果（评价及反思）
三直线的参数方程
（课后部分）
编写者: 安春红周妍自我评价与反思:
（2013 ·江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
x＝t＋1，
y＝2t
（t 为参数），曲线C 的参数方
2
x＝2tan θ，
程为（θ为参数）．试求直线l 和曲线C 的普通方y＝2tan θ
程，并求出它们的公共点的坐标．
解】因为直线l 的参数方程为
x ＝t＋1，
y ＝2t
（t 为参
数），由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l 的普通方程为2x
－y－2＝0.
同理得到曲线 C 的普通方程为y2＝2x.
联立方程
组
y＝ 2 x－ 1 ，
y 2＝2x，
课后作业: 练习册相应练习题
1 解得公共点的坐标为（2,2），21，－1
巩固提升：
已知抛物线y2 = 2px，过焦点 F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B 两点，求
证：
AB =
2p。

sin
2
θ。

分析：弦
长
AB = |t1 -t2|。

达标检测:
1、已知直线方程为：
2、直线 l 过点 P 0(2,4) ，倾斜角为 ，求出直线 l 上与点 P 0(2,4)相距为 4的点的坐标
0 6 0
3、过点 P 0 (1,0) ，倾斜角为 的直线 l 和抛物线 y 1 2 2x 相交于 A 、B 两点，求线段 AB 的中点 M
4
点的坐标
4、过抛物线
的焦点作斜角为 的直线与抛物线交于 A 、B 两点，求 |AB|.
3、直线 l 过点 P 0(2,4) ，倾斜角为 ，求出直线 l 上与点 P 0(2,4) 相距为 4的点的坐标
0 6 0
3、过点 P 0 (1,0) ，倾斜角为 的直线 l 和抛物线 y 2 2x 相交于 A 、B 两点，求线段 AB 的中点 M 4
点的坐标
4、过抛物线 的焦点作斜角为 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点，求 |AB|.
5
求直线
x1
2t
与圆x 2
y 2
9所交弦长
y2 3t
(1,5),
6、设直线 经过点
倾斜角为 ,
5
求直线
x1 2t
与圆x 2 y 2 9所交弦长
y2
3t
(1,5),
6、设直线 经过点
倾斜角为 ,
1 求直线 和直线 的交点到点 的距离 ;
2 求直线 和圆 的两个交点到点 的距离的和与积
A 450
(t 为参数) ,则直线的倾斜角为(
B 600
C 1350
D 300 A 450
600 (t 为参数) ,则直线的倾斜角为(
)
C 1350
D 300
达标检测:
1、已知直线方程为：
1) 求直线和直线的交点到点的距离;2) 求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积。