第三章 直线与方程【典型例题】题型 一 求直线的倾斜角与斜率设直线 l 斜率为 k 且 11<<k - 则倾斜角α的取值范围拓展 一 三点共线问题例 已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．例 已知三点)0)(,0(),0,(),2,2(≠ab b C a B A )在一条直线上，则=+ba 11拓展 二 与参数有关问题例 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.变式训练：已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.拓展 三 利用斜率求最值例 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x的最大值与最小值。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【【典型例题】题型 一 两条直线平行关系例 1 已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32）、S （0，52），试判断1l 与2l 是否平行？变式训练：经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（ ）.A ．4B ．1C ．1或3D ．1或4题型 二 两条直线垂直关系例 2 已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．变式训练：（1）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？（2）直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是 .题型 三 根据直线的位置关系求参数例 3 已知直线1l 经过点A(3,a)、B （a-2,-3）,直线2l 经过点C （2，3）、D （-1，a-2）,（1）如果1l //2l ，则求a 的值；（2）如果1l ⊥2l ，则求a 的值题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用例4 四边形ABCD 的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状.变式训练：已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．探点 一 数形结合思想例 5 已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.（1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.探点 二 分类讨论思想例6 ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ∆为直角三角形，求m 的值.3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【典型例题】题型一求直线的方程例1 写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)B-，倾A，斜率是4；（2）经过点(3,1)斜角是30.例2 倾斜角是135，在y轴上的截距是3的直线方程是.变式训练：1.已知直线l过点(3,4)=+的两倍，则直线l的方程为P，它的倾斜角是直线1y x2.已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.3.将直线1y x =+绕它上面一点（115°，得到的直线方程是 .题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题例 3 已知直线1l 的方程为223,y x l =-+的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。

探究 一 直线恒过定点或者象限问题例 4. 已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.探究 二 直线平移例 5 已知直线l ：y=2x-3 ，将直线l 向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为__________________3.2.2 直线的两点式方程【知识点归纳】1.直线的两点式方程：2.直线的截距式方程：【典型例题】题型 一 求直线方程例 1 已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.变式训练：1.已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）.A ．425x y +=B ．425x y -=C ．25x y +=D ．25x y -=2.已知1122234,234x y x y -=-=，则过点1122(,),(,)A x y B x y 的直线l 的方程是（ ）.A. 234x y -=B. 230x y -=C. 324x y -=D. 320x y -=例 2求过点(3,2)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式训练：已知直线l 过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为题型 二 直线方程的应用例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围；（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？（千克）探究一直线与坐标轴围成的周长及面积例4 已知直线l过点(2,3)-，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l的方程．探究二有关光的反射例5 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.变式训练：已知点(3,8)+最小时的点P的A-、(2,2)B，点P是x轴上的点，求当AP PB坐标．3.2.3 直线的一般式方程【知识点归纳】1．直线的一般式：2．直线平行与垂直的条件：【典型例题】题型 一 灵活选用不同形式求直线方程例1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A （8，－2）； （2）经过点B (4，2)，平行于x 轴； （3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.题型 二 直线不同形式之间的转化例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点(5,6),(4,8)A B --.题型 三 直线一般式方程的性质例 3直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.变式训练：已知直线:5530l ax y a --+=。

（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围。

题型 四 运用直线平行垂直求参数例 4 已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥； （2）12//l l .变式训练：（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.题型 五 综合运用例 5 已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：（1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标：2.两点间的距离公式：【典型例题】题型 一 求直线的交点坐标例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0； （2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.题型 二 三条直线交同一点例 2 若三条直线2380,1020x y x y kx y ++=--=-+=，相交于一点，则k 的值等于变式训练：1.设三条直线：21,23,345x y x ky kx y -=+=+=交于一点，求k 的值2.试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.题型三求过交点的直线问题例 3 求经过两条直线280x y--=的-+=的交点，且平行于直线4370x y+-=和210x y直线方程.变式训练：已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3:3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.题型四两点间距离公式应用例4 已知点(2,1),(,3)AB=，则a的值为A B a--且||5变式训练：在直线20M的距离为５，并求直线PM的方程.x y-=上求一点P，使它到点(5,8)题型五三角形的判定例5已知点(1,2),(3,4),(5,0)∆的类型．A B C，判断ABC探究一直线恒过定点问题例6 已知直线(2)(31)1-=--. 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.a y a x变式训练：若直线l：y＝kx2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的倾斜角的取值范围.探究二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）例7 直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值. 变式训练：已知(1,0)(1,0)--=上的动点．求22x y、，点P为直线210M N-+的最PM PN小值，及取最小值时点P的坐标．3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离【知识点归纳】1.点到直线的距离：2.两条平行间直线的距离：拓展：点关于点、直线对称点的求法【典型例题】题型一利用点到直线距离求参数例1 已知点(,2)(0)a a>到直线:30l x y-+=的距离为1，则a=（）.A B C1D1题型二利用点到直线距离求直线的方程例2 求过直线1110 :33l y x=-+和2:30l x y-=的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.变式训练：直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是题型 三 利用平行直线间的距离求参数例 3若两平行直线3210x y --=和60x ay c ++=之间的距离为13，求2c a +的值.变式训练：两平行直线51230102450x y x y ++=++=与间的距离是（ ）.A. 213B. 113C. 126D. 526题型 四 利用平行直线间的距离求直线的方程例 4 与直线:51260l x y -+=平行且与l 的距离2的直线方程是题型 五 点、直线间的距离的综合运用例 5 已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．探究 一 与直线有关的对称问题例 6 △ABC 中，(3,3),(2,2),(7,1)A B C --. 求∠A 的平分线AD 所在直线的方程.变式训练：1.与直线2360x y +-=关于点（1，-1）对称的直线方程是2．求点A （2，2）关于直线2490x y -+=的对称点坐标探究 二 与距离有关的最值问题例 7 在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.变式训练：在直线:310l x y --=上求一点P ，使得：（1）P 到A （4，1）和B （0，4）的距离之差最大。