*4.微分方程 y2 yx e 2x 的特解 y 形式为（） .*2x*2 x(A) y(ax b)e (B) y ax e(C) y*ax 2 e2x(D) y*( ax2bx)e2 x2016 年考研数学模拟试题（数学二）参考答案一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内） 1.设 x 是多项式 0 P( x)x4ax3bx2cx d 的最小实根，则（） .（A ） P ( x 0 ) 0 （ B ） P ( x 0 ) 0 （C ） P ( x 0 ) 0 （D ） P (x 0 ) 0 解 选择 A. 由于 lim P( x)xx 0，又 x 0 是多项式 P(x) 的最小实根，故 P (x 0 )0 .2. 设 limx af ( x) 3x f (a)a1 则函数 f ( x) 在点 x a （） .（A ）取极大值（ B ）取极小值（ C ）可导（ D ）不可导oo解 选择 D. 由极限的保号性知，存在 U (a) ，当 x U (a) 时，f ( x) 3x f (a)a0 ，当 x a时， f ( x)f (a) ，当 x a 时， f ( x) f (a) ，故 f ( x) 在点 x a 不取极值 .limf ( x) f (a) alimf ( x) f (a)a1x ax x a3x 3( x a)2，所以 f ( x) 在点 x a 不可导 .3.设 f ( x, y) 连续，且满足 f ( x, y) f ( x, y) ，则f (x, y) dxdy （）. x 2 y 2 1（A ） 2 1 1 x 21 1 y20 dxf ( x, y)dy （ B ） 2 0dy 1 y 2f ( x, y)dx 1 1 x 2 1 1 y2（C ） 2dx1 x2f ( x, y)dy（ D ） 2dyf ( x, y)dx解 选择 B. 由题设知f ( x, y)dxdy 2f ( x, y)dxdy 2 1 0 dy1 y2 1 y 2f ( x, y)dx .x 2 y 2 1 x 2 y 2 1, y 0解 选择 D.A 与B 相似可以推出它们的多项式相似， 它们的特征多项式相等， 故 A ，C 正确，又 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，可以推出 A 与 B 合同，故 B 正确 .8. AA m n ， R( A) r ， b 为 m 维列向量，则有（） .(A) 当 r m 时，方程组 Ax b 有解(B) 当 r n 时，方程组 Ax b 有唯一解(C) 当 m n 时，方程组 Ax b 有唯一解 (D) 当 r n 时，方程组Ax b 有无穷多解解 选择 D. 特征方程 r22r0 ，特征根 r 0, r 2 ，2 是特征根，特解 y *形式为y*x(ax b) e 2 x.5. 设函数 f ( x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）.x x（A ）f (t 2)dt（ B ）f 2(t) dtxx（C ）t[ f (t ) f ( t )] dt（ D ）t [ f (t ) f ( t )] dt解 选择 C. 由于 t[ f (t ) f ( t)] 为奇函数，故x 0t[ f (t) f ( t)]dt 为偶函数 .6. 设在全平面上有 f ( x, y) x0 ，f ( x, y ) y0 ，则保证不等式 f ( x 1 , y 1)f ( x 2 , y 2 ) 成立的条件是（ ） （A ） x 1 x 2 ， y 1 y 2 . （C ） x 1x 2 ， y 1y 2 .（B ） x 1 x 2 ， y 1 y 2 . （D ） x 1x 2 ， y 1y 2 .解 选择 A.f ( x, y ) xf ( x, y) 关于 x 单调减少，f ( x, y) yf (x, y) 关于 y 单调增加，当 x 1x 2 ， y 1y 2 时， f ( x 1 , y 1) f ( x 2 , y 1 ) f ( x 2 , y 2 ) .7.设 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论中不正确的是（）.(A) AE 与 B E 相似 (B)A 与B 合同 (C)AEBE(D)AE BE3233解 选择 A. 当r m 时， r A,b r ( A) ，方程组 Ax b 有解.二、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，把答案填在题中横线上）1 9. lim (1x)xe.x 0x解 答案为e .21 11(1 x)xee xln(1 x) ln(1 ee xx) 1 1limlimelimx 0xx 0x x 0xelim 1 ln(1 x x) 1 elim ln(1 x) x 1 1 elim1 xex 0 x x 0 x 2x 0 2x22u10 设 f 有二阶连续偏导数， uf (x, xy, xyz) ，则.z y22解 答案为 xf 3 x yf x yzf .u xyfz32uxfxy( fx fxz) xfx 2yfx 2yzf3323333233z y11. 设微分方程yy x ( ) 的通解为 y xyx ln Cx，则 ( x).解 答案为1 2 . 将 yxx ln Cx代入微分方程，得(ln Cx)1 ln 2Cx，故(x)1 .x212. 数列nn 中最大的项为.3解 答案为 3 .【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】11ln x 1 ln x1 ln x设 f (x)x x xex， f ( x)e x0 x e ，x2x e 时， f (x) 0 ， f (x) 单调增加，故 n e 时， f ( n)nn 递增， 2 最大，x e 时， f (x) 0 ， f (x) 单调减少，故 n e 时， f ( n)nn 递减， 33 最大，x3 6 6又 3 9 8 2 ，数列n 3n 的最大项为3 .13. 方程5x 2x dt8 0 在区间(0,1) 内的实根个数为.0 1 t解答案为1. 令f (x) 5x 2 x dt ，f (0) 2 0, f (1) 3 1 dt 0 ，0 1 t 8 0 1 t 8由零点定理知，此方程在区间(0,1) 内至少有一个实根，又调增加，故此方程在区间(0,1) 内有且仅有一个实根. f (x) 511 x80 ，f ( x) 单14. 设n 阶矩阵A 的秩为n 2 ，1, 2 , 3 是非齐次线性方程组Ax b 的三个线性无关的解，则Ax b 的通解为.解答案为1k1 ( 2 1 )k2 ( 3 1 ) ，k1 ,k2 为任意常数.1, 2 , 3 是非齐次线性方程组Ax b 的三个线性无关的解，则21, 3 1 是Ax 0的两个解，且它们线性无关，又n r ( A) 2 ，故 2 1, 3 1 是Ax 0 的基础解系，所以Ax b的通解为1k1 ( 2 1 )k2 ( 3 1 ) .三、解答题（本题共9 小题，满分94 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1[(1 x) x e]sin ln(1 x)15. （本题满分9 分）求极限lim .x 0 1 xsin x 1解1 1 1ln(1 x) 1ln(1 x) 1[(1 x) x e]sin ln(1 x) (1 x) x e e x e e x 1 lim 2lim 2lim 2elimx 0 1xsin x 1 x 0 x x 0 x x 0 xelim 1ln(1xx) 12elim ln(1 x) x112elim 1 x ex 0 x x 0 x2x 0 2x16. （本题满分9 分）设 f ( x) 单调且具有一阶连续导数，z f (x ( y)) 满足( y)z zx y0 ，求可导函数( y) .解zf ，zfx y( y) ，代入方程( y)z zx y0 ，得( y) f f ( y) 0 ，即 ( y) ( y) ，解得 ( y ) C e x ，其中 C 为任意常数 .17. （本题满分 1 计算积分 9 分）2 y2 1 dy 1 1 y 2( x 2 y 2sin 3 y) d x 解 画出二重积分区域 D ， D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得 12 1 dy 1 1 y 2y 2( x 2 y 2 sin 3 y)dx( x 2 y 2 sin 3 y)dxdy D2 ( x 2 y 2 )dxdy 2 2cosr 2 dr D14 d 0 22 3 04 (8cos 32 2) d 20 2 9 23 18. （本题满分 11 分）求微分方程 y 2a( y ) 0 (a 0) 满足初始条件 y x0 0 ， y x 01的特解 .解 令 y p , y dp，代入原方程，得dxdp dxap 20 ， dp p 2 adx ， dp p 2 adx ， 1 p ax C ，1 由 x 0, y 0, y p 1，得 C 1 1 ， 1 pax 1 ， p 1 ax 1 ，即 y 1 ax 1 ， 故 y 1 ax 1dx 1ln(ax a 1) C ， 2 由 x0, y 0 得 C 2 0 ，所以 y1ln( ax 1).a19. （本题满分 11 分）设 f (x) 和 g(x) 在区间 (a, b) 可导， 并设在 (a,b)内 f (x)g ( x) f ( x)0 ，证明在 (a, b) 内至多存在一点，使得 f ( ) 0 .证 设 (x)f ( x)eg ( x )，则( x) eg( x)( f (x)f (x)g ( x)) .若在 (a, b) 内存在两个不同的点1, 2 ，使得 f ( 1 )f ( 2 ) 0 ，则由罗尔定理知，至少存在一点介于 1 ,2 之间，使( ) 0 ，2 2即 eg ( )( f ( ) f ( ) g ( )) 0 ，于是有f( ) f ( ) g ( ) 0 ，与题设矛盾，故在 (a,b) 内至多存在一点 ，使得 f ( )0 .20. （本题满分 11 分） 设有抛物线 ： ya bx 2，试确定常数a, b 的值，使得⑴与直线 y x 1 相切；⑵与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积最大 .解 设切点为 ( x 0 , y 0 ) ， y2bx ，切线斜率 k2bx1 x1 , ya1，2b 4b 1 1 1代入切线方程，得 a4b14(1 2bba) .⑴又旋转体体积 V ax 2dy aa ydy aa y dy 2 ( a 2 a 3 ) ，0 0 bbV 2 (2 a 3a 2) 0 ，解得 a 0或者 a 2 ， V 3 2 (2 6a) ， V (0) 4 0,V 2( )4 0 ，故 a 3 2 时，体积 V 最大， 32 将 a 代入⑴得 b 33 2 3 ，所以 a ， b .4 3 421.（本题满分 11 分 ）一质量为 m 的物体以速度v 0 从原点沿 y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平 方成正比（比例系数 k 体上升的最大高度 .0 ），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物解 根据牛顿第二定律，物体上升的高度y y(t ) 所满足的微分方程为d 2ydy 2m 2mg k，dtdt初始条件为 y(0)0, y (0) v 0 .dydv2dv kv2v代入方程，得 dt m mg kv ，dtg，dt m记 a2g,b2k，dva2m dtb v ，dv22 2dt ，a b v积分得 1 arctan bvt C ， t ab a0 时， v v 0 ，故 C1 arctan bv 0， ab a22. （本题满分 11 分）T设11,2,3,1 ,2T1,1,2, 1 ,3T1,3,a,3,43,5,7, 1 TT,0,1,1,b .⑴当 a, b 满足什么条件时，可由 1, 2 , 3, 4 线性表示，且表示式唯一？⑵当 a,b 满足什么条件时，可由1, 2, 3 , 4 线性表示，且表示式不唯一？并求出的表示式 .解 设 x 11x 22x 33x 44⑴，其增广矩阵( 1,2, 3 ,11 1 3 0 1 1 1 3 02 13 5 1 0 111 1 4, )~3 2a71 0 0 a 4 111 3 1 b 0 02 b 2⑴当 a4 时， r ( 1, 2 , 3 , 4 , ) r ( 1, 2 , 3 , 4 ) 4 ，方程组⑴有唯一解，即可由1 ,2 , 3,4 线性表示，且表示式唯一.⑵当 a4 时， ( 1 , 2 , 3,4 , ) ~1 1 1 3 0 0 1 1 11 ，1 0b 2故当 a 4,b 2 时， r ( 1, 2, 3 , 4 , ) r ( 1, 2, 3 , 4) 3 ，方程组⑴有无穷多解，即可由 1,2, 3 ,4 线性表示，且表示式不唯一，1 02 0 1 x 1 1 2x 3( 1 , 2 ,3 ,4 , ) ~0 1 1 01 x2 ，同解方程组为1 x 3 ，通解为 (1, 1,0,0)Tk ( 2,1,1,0)T，ab 1arctan bvatab 1arctan bv 0， a令 v0 ，得上升到最高点的时间为 t 1ab 1arctan bv 0a arctan bv aab(t t )， v atan ab(t 1 b 1 t )上升的最大高度为 yt 1a 0btan ab(t 1t)dt1b2 ln cos[a b(t 1 t)] 1t 0 1 2b2 ln(1b 2v 2 a20 ) .0 0 0 0 00 0 0 1 0 x 3 x 30 0x 4故的表示式为(1 2k) 1( k 1) 2k 3 ，其中k 为任意常数.23. （本题满分11 分）设A, P 为n 阶矩阵，P 可逆，且AP PA，证明：⑴若是A 的特征向量，则P 也是A 的特征向量；⑵若A 有n 个不同的特征值，是A 的特征向量，则也是P 的特征向量.证⑴证设A ，则A(P ) P(A ) P( ) ( P ) ，故P 也是A的特征向量⑵由A 有n 个不同的特征值知， A 的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，又, P是对应同一个特征值的特征向量，故它们线性相关，故存在常数 c ，使得P c ，故也是P 的特征向量.。