三角函数 能力提高训练 2017.12
选择题
1．若π04α<<
0，则（ ） Ａ．sin 2sin αα> Ｂ．cos 2cos αα<
Ｃ．tan 2tan αα> Ｄ．cot 2cot αα< 答案：Ｂ
2．函数s i n ()y A a x b =+的
图象与函数cos()y A ax b =+的图像在区间π(0)m m a a ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦
，（ ） Ａ．可能没有交点 Ｂ．一定有两个交点
Ｃ．至少有一个交点 Ｄ．只有一个交点
答案：Ｃ
3．在ABC △，cos 2cos 2A B <是A B >的（ ）
Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件
答案：Ｃ
填空题
4．函数23sin cos 3cos 2y x x x =+-
的最小正周期是 ． 答案：4π
5．函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是
．
答案：12
+6．关于函数π()4sin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
()x ∈R ，有下列命题： ①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；
②()y f x =的表达式可改写为π4cos 26y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
； ③()y f x =的图象关于点π06⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称；
④()y f x =的图像关于直线π6x =-
对称． 其中正确命题的序号是
．
答案：②③
解答题
7．已知22sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且αβ，为锐角，求证：π22
αβ+=． 解：223sin 12sin cos2αββ=-= 又3sin 22sin 2αβ=
2sin 22cos 2tan 2sin sin ααβαα
∴=
= tan 2cot βα∴= 1tan tan tan 2tan tan(2)1
1tan tan 21tan tan ααβααβαβαα
+++==--无意义 π02α<< ，π02
β<<，02πβ<< 3π022αβ∴<+< π22αβ∴+=． 8．已知tan α，tan β是方程2
410x x --=的两个根，求22sin ()4sin 2()6cos ()αβαβαβ+-+++的值．
解：由已知：tan tan 4αβ+=且tan tan 1αβ=- tan()2αβ∴+=． 原式2222sin ()8sin()cos()6cos ()sin ()cos ()
αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++ 22tan ()8tan()6tan ()1
αβαβαβ+-++=++ 65
=- 9．在ABC △中，求222sin
sin sin 222A B C ++的最小值，并指出取最小值时，ABC △的形状，并说明理由． 解：设2
22sin
sin sin 222A B C y =++ 31(cos cos cos )22A B C =-++ 312cos cos cos()2222A B A B A B +-⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦
2312cos cos 2cos 122222A B A B A B +-+⎛⎫=
--+ ⎪⎝⎭
0cos 2A B -<1 ≤，设cos 2A B t += 2213124
y t t t ⎛⎫∴-+=-+ ⎪⎝⎭≥ 当12t =，且cos 12A B -=时，即1cos 22
A B +=，且cos 12A B -= 有60A B == ，60C ∴=
10．已知ABC △的三个内角A B C ，，满足：2A C B +=，
11cos cos cos A C B
+=-．求cos 2A C -的值． 解：由已知60B = ，120A C +=
，
cos 60
=- 11cos cos A C ∴+=-
将上式化为cos cos cos cos A C A C +=-．利用和差化积及积化和差公式，上式
可化为2cos
cos )cos()]22A C A C A C A C +-=++-
将1cos cos 6022A C +== ，1cos()2A C +=-代入上式得cos )2A C A C -=-． 将2cos()2cos 12A C A C -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
代入上式并整理，得
22cos 022A C A C --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
．
cos 2A C -是关于x 的方程220x +-=的根，解这个方程得12x =和
24x =-（不合题意舍），从而得cos 22A C -=．。