三角函数大题压轴题练习1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- s i n (2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x 取最小值2-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=； （2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。

5.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f tg x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos xxg x xxx x--=+++2222(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x xxx x--=+1sin 1cos cos sin .cos sin x xxx x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x xg x xx x x--∴=+--sin cos 2x x =+-2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦），即1sin()2)23424x x ππ-≤+-≤+--＜，＜， 故g (x )的值域为)2,3.⎡-⎣6．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c解：由tantan 422A B C ++=得cot tan 422C C+= ∴cos sin224sin cos22C C C C+= ∴14sin cos 22C C = ∴1sin 2C =，又(0,)C π∈∴566C C ππ==，或由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -= ∴B C =6B C π==2()3A B C ππ=-+=由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==得1sin 2sin Bb c a A ====7.在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3c C π==.⑴若ABC △求,a b ;⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ························ 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =．所以ABC △的面积1sin 23S ab C ==． ····················································· 12分 1.已知函数()sin()sin()cos (,)66f x x x x a a R a ππ=++-++∈为常数. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若函数()f x 在[-2π，2π]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 解：（Ⅰ）∵()2sin cos cos 6f x x x a π=++cos x x a =++2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……………………5分∴函数()f x 的最小正周期2T π=………………………7分(Ⅱ)∵,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2363x πππ-≤+≤()min 2f x f a π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭……9分()max 23f x f a π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭……11分由题意，有()(2)a a ++=∴1a =……12分2.（本小题12分）已知函数.21)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-+=πf f x x b x a x f 且 （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的单调增区间；解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==21)4(23)0(πf f 得⎪⎩⎪⎨⎧==123b a …………3分)32sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π+=+=-+=x x x x x x x f ……6分 故最小正周期π=T （2）由)(223222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得 )(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 故)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ …………12分3．已知x x a x x f cos sin 34cos 4)(2+-=，将)(x f 的图象按向量)2,4(π-=→b 平移后，图象关于直线12π=x 对称．（Ⅰ）求实数a 的值，并求)(x f 取得最大值时x 的集合； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间．解：（Ⅰ）22cos 22sin 32)(--=x x a x f ，将)(x f 的图象按向量)2,4(π-=→b 平移后的解析式为2)4()(++=πx f x g x a x 2cos 322sin 2+=．……………………………3分)(x g 的图象关于直线12π=x 对称，∴有)6()0(πg g =，即a a 3332+=，解得1=a ． ……………………………5分则2)62sin(422cos 22sin 32)(--=--=πx x x x f ．……………………………6分 当2262πππ+=-k x ，即3ππ+=k x 时，)(x f 取得最大值2．………………………7分因此，)(x f 取得最大值时x 的集合是},3{Z k k x x ∈+=ππ．…………………………8分（Ⅱ）由226222πππππ+≤-≤-k x k ，解得36ππππ+≤≤-k x k ．因此，)(x f 的单调递增区间是]3,6[ππππ+-k k )(Z k ∈．……………………………12分4.已知向量= (θθsin ,cos ) 和=(θθcos ,sin 2-)，θ∈［π，2π］．(1) 求||+的最大值；(2)当||+=528时，求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．4．解：(1) ()cos sin sin m n θθθθ+=-++ (2分)(cos m n +=(4分)∵θ∈［π，2π］，∴49445ππθπ≤+≤，∴)4cos(πθ+≤1 ||n m +max =22． (6分)(2) 由已知825m n +=,得7cos 425πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (8分) 又2cos 2cos ()1428πθπθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ∴216cos ()2825θπ+= (10分) ∵θ∈［π，2π］∴898285ππθπ≤+≤，∴4cos 285θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． (12分) 。