2019 年高考三角函数大题专项练习集(一)1. 在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90 °,∠A=45 °,AB=2 ,BD=5.(1)求cos∠ADB ;(2)若DC = 2 2 ,求BC.2. 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知c=2 且ccosA+bcosC=b. (1)判断△ ABC 的形状;(2)若C= ,求△ABC 的面积.63. 在△ ABC 中,角A, B,C 的对边分别为a, b, c ,且2a b cosC c cosB . (1)求角C 的大小;(2)若c 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求该三角形的周长.4. ABC 的内角(1)求C ;A, B,C 的对边分别为a,b, c .已知 a b sin A csin C bsin B .(2)若ABC 的周长为 6 ,求ABC 的面积的最大值.5. ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,已解a b sin( A B)(1)求角A;c b sin A sin B(2)若a 3 ,c b1,求b 和c 的值6. 已知函数 f x sin xcosx3 cos2x.2 2 2(1)求 f x 的最小正周期;(2)求 f x 在区间,0 上的最大值和最小值.7. 在△ABC 中,角A、B、C 的对边分别是a、b、c,且3a cos C2b 3c cos A . (1)求角 A 的大小;(2)若a=2,求△ ABC 面积的最大值.28. 在锐角 △ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为a,b, c , BC 边上的中线 AD m ,且满足a22bc 4m 2.(1) 求BAC 的大小;(2) 若 a2,求 ABC 的周长的取值范围 .9. 已知a (1 cosx,2sin x), b 2 (1 cosx,2 cos x ) . 2(1) 若f ( x) 2 sin x1 a b ,求 4f ( x) 的表达式;(2) 若函数f ( x) 和函数g ( x) 的图象关于原点对称,求函数 g( x) 的解析式;(3) 若 h( x)g( x)f ( x) 1 在, 上是增函数,求实数 的取值范围 .2 210. 已知 a( 3 sin x, m cos x) , b (cos x, m cos x) , 且 f ( x) a b(1) 求函数f (x) 的解析式 ;(2) 当 xx 的值 .,时, 6 3f ( x) 的最小值是- 4 , 求此时函数 f ( x) 的最大值 , 并求出相应的11. △ABC 的内角为 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,已知a b c.(1) 求 sinA B sin Acos A cos A B 的最大值;cos C sin Bsin B cos C(2) 若 b2 ,当 △ABC 的面积最大时, △ ABC 的周长;12. 如图 ,某大型景区有两条直线型观光路线AE , AF , EAF 120 ,点 D 位于 EAF 的平分线上,且与顶点A 相距 1 公里 .现准备过点 D 安装一直线型隔离网 BC ( B, C 分别在AE 和 AF 上),围出三角形区域 ABC ,且 AB 和 AC 都不超过 5 公里 .设 AB x ,ACy (单位:公里 ).(1) 求 x, y 的关系式;(2) 景区需要对两个三角形区域ABD , ACD 进行绿化 .经测算, ABD 区城每平方公里的绿化费用是 ACD 区域的两倍,试确定x, y 的值 ,使得所需的总费用最少 .13. 已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,sinA=2sin C,2b=3c. (1)cosC;(2)若∠B 的平分线交AC 于点D,且△ABC 的面积为3 154,求BD 的长. 14. 已知函数 f ( x) sin 2 x 2sin x cos x3cos2x ,x R.求:(1)函数(2)函数f (x) 的最小值和图像对称中心的坐标;f (x) 的单调增区间.15. 已知函数 f ( x) 2cos x(sin x cos x) 1,x R .(1)求函数 f (x) 的单调递增区间;(2)将函数y f (x) 的图象向左平移π个单位后,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数4y g( x) 的图象,求g(x) 的最大值及取得最大值时的x的集合.16. 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且2 a s in A 2b c sin B 2c b sin C .(1)求角 A 的大小;(2)若a10 ,cos B 2 5,D 为AC 的中点,求BD 的长.517. △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知(1)求cosB ;b cos A3a c .3(2)如图, D 为△ABC 外一点,若在平面四边形ABCD 中,D 2 B ,且AD 1 ,CD 3 ,BC 6 ,求AB 的长.【试卷答案】1.解:(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD AB.由题设知,5 2sin 45 sin ADB ,所以sinsinAADBsin25ADB.由题设知,ADB 90 ,所以cos ADB2 23 1 .25 5(2)由题设及(1)知,cos BDC sin ADB2. 5在△BCD 中,由余弦定理得BC2BD 2DC 2 2 BD DC cos BDC25 8 2 5 2 22525 .所以BC 5 .2.(Ⅰ)因为ccos A b cosC b ,由正弦定理,得sin C cos A sin B 1 cosC ,即sin B sin C cos A sin BcosC =sin A C sin AcosC cos A sin C,4分所以sin BcosC sin AcosC ,故cosC 0 或sin A sin B .5分当cosC 0 时,C,故△ABC 为直角三角形;2当sin A sin B 时, A B ,故△ABC 为等腰三角形.7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知 c 2 ,A B ,则a b,9分因为C,所以由余弦定理,得6 4 a 2 a 22a 2 cos ,6解得a 2 8 4 3 ,12 分所以△ABC 的面积S 1a2 sin 2 3 .14 分2 623.(1)在△ ABC 中,由正弦定理知a b c 2R又因为2a b cosC c cosBsin A sin B sin C所以 2sinAcosCsinBcosC cosBsinC ,即 2sinAcosC sinA4 分∵ 0A, ∴ sin A1 ∴ cosC6 分 2∵ 0C∴ C8 分 3(2)∵ S ABC1absinC 2 3 ∴ ab 4 10 分又 c2a2b22 a bcosCa b3ab2∴ a b16∴ ab 4∴周长为 6.14 分4. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式等基础知识;考查运算求解能力等;考查化归与转化思想、函数与方程思想等;考查数学抽象,数学运算等.【试题简析】解:(Ⅰ)由正弦定理结合已知条件可得a ab cb , ...................2 分所以 a2b2c 2ab , ................................................................ 3 分所以 cosCa2b2c22abab 2ab1 , ...................................................5 分2又 0C π C. ...........................................................6 分3(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 a2b 2c2ab ,所以 c2a2b22aba b 3ab , ..............7 分又 a b c 6 ,所以 c 62a b , 6a b 2a b 3ab ,所以 a bab 12 , .................................................................8 分4a b 又ab , 2所以 a bab 12 24ab , ......................................................9 分2π,所以 2ab 2 ab 6 0 ,所以0ab 4或ab 36 (不合,舍去),. ......................................... 10 分所以S1 ab sin C 3 ab 3,............................................. 11 分ABC 2 4当且仅当 a b 2 时等号成立,所以ABC 的面积的最大值为 3 .................................................. 12 分【变式题源】(2016 全国卷Ⅰ·理17)ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a, b, c ,已知2 cos C( acos B b cos A) c .(Ⅰ)求 C ;(Ⅱ)若 c 7 ,ABC 的面积为 3 3,求ABC 的周长.25. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理, 余弦定理等式等基础知识;考查运算求解能力等;考查化归与转化思想、函数与方程思想等;考査数学抽象,数学运算等.【试题简析】(Ⅰ)∵ A B C ,∴sin( A B) sin C ,∴a b sin Cc b sin A sin B由正弦定理有:a b sin C c,∴a b c,c b sin A sin B a b c b a b因此有: a 2 b 2 c2 bc ,由余弦定理得cos A b2 c22bca 2 12,∵C (0, ) ∴C ,3a2 b 2 c2 bc,3 b2 c2 bc,(Ⅱ)解法一:由(1)可得 a 3,c b 1, 得1 b2 c22bc,b 1解得::1 .c 2解法二:由(Ⅰ)得a b cc b a b, 又因为a 3 ,c b 1;所以a 2 b 2 c ,则有 3 b 2 c ,3 b2由c, 2, 得:b b 2 0 ,解得b 1,c 2 .c b 1,6. 解:(Ⅰ) 因为 f x sinxcos x 3 cos 2 x 2 2 2 sin x cos x2 23 cos 2 x 23 1 sin x 23 cos x 3 2 2 sin x++32.4 分所以 f x 的最小正周期T 2 .6分(Ⅱ) 因为 x,0 ,所以 x+2,.33 3所以当 x ,即 x0 时,函数f ( x) 取得最大值 sin +33.3 3当 x,即 3 2x5 时,函数 6f ( x) 取得最小值3 2 3 1+.23所以 f x 在区间 ,0 上的最大值和最小值分别为3 和分1+ .2137.(1)由正弦定理可得:3 sin A cos C 2sin B cos A 3 sin C cos A .从而可得:3sin A C 2sin B cosA ,即 3 sin B 2sin B cos A又 B 为三角形内角,所以sin B 0 ,于是 cos A3 ,2又 A 为三角形内角,所以 A.62222 23 (2)由余弦定理: abc2bc cos A 得: 4 b c12bc22bc3bc ,所以如 bc 4 23 ,所以 S ABCbc sin A 22 3 , ABC 面积的最大值为2 3. .2 21 28.(1)在ABD 中,由余弦定理得: c m a macosADB ,①4在ACD 中,由余弦定理得:b2m2 1a 24macosADC ,②因为ADB ADC ,所以cos ADB cos ADC 0 ,①+②得:b2 c2 2 m21a 2 , 4 分2即m2 1b 21c21 2 2a ,代入已知条件 a 2bc 4m2 ,2 2 4得a2 2bc 2b 22c2 a 2 ,即b 2 c2 a 2 bc , 6 分cosBAC b 2 c22bca 2 1,2又0 A ,所以BAC . 8 分3(2)在ABC 中由正弦定理得a b c,又a 2 ,sin3sinB sinC4 3 4 3 4 3 2所以b sinB ,c sinC sin B ,3 3 3 3∴a b c 2 4 3sinB34 3sinC34sin B62 ,10 分∵ABC 为锐角三角形,BAC30 B∴ 2 B ,0 C 6 2212 分∴B ,26 3 3 ,∴sin B3,1 .6 2∴ABC 周长的取值范围为 2 2 3,6 .16 分9.(1) f ( x) 2 sin x 14 cos2 x44(sinx2cosx) 22(1 分)2 sin x cos2 x 1 sin x sin2 x 2 sin x (3 分)(2)设函数y f (x) 的图象上任一点M x0 , y0关于原点的对称点为N x, y ,则x0x, yy ,( 4 分)点M 在函数y f ( x) 的图象上2y sin ( x) 2 sin( x), 即g( x) 2sin x 2sin x (7 分)(3)h( x) (1 ) sin 2 x2(1 ) sin x1,( 1 t 1)则有h( t) (1 )t 22(1 ) t 1,( 1 t1) (8 分)①当1时,h(t ) 4t 1在1,1 上是增函数,1(9 分)②当1时,h(t ) 的对称轴为t 1. 1(ⅰ)当1时,111 ,解得1;(10 分)(ⅱ)当1时,111 ,解得10 . (11 分)综上可知,0 . (12 分)10.(1) f ( x) a b ( 3 sin x, m cos x) (cos x, m cos x)2 2即 f (x) 3 sin x cos x cos x m(2) f ( x)3 sin 2 x 1 cos 2 xm22 2sin(2 x )1m2由x ,6 2, 2 x, 5 ,sin(2 x )1,1 ,6 3 6 6 6 6 2 1 1m22 24 ,m 21f (x)max 1 2 1, 此时2 x , x .2 2 6 2 611.(1)由a b c得:a b cos C csin B,cosC sin B sin B cos C cos C sin B sin B cos Ca bcosC csin B ,即sin A sin BcosC sin C sin B ,cosB sin B ,B ;4由sin 令t A Bsin Asin AcosAcos A,原式cos A B1t 2 2t2 sin A1,cos A sin Acos A,2 2当且仅当 A 时,上式的最大值为5 .(2)S41ac sin B2ac, b22a 2 c2 2ac cos B ,即2 42a 2 c2 2 a c 2 2 ac, ac 2 2 ,当且仅当 a c 2 2 等号成立;2 1S MAX ,2周长L a b c 2 2 2 2 .12. 【命题意图】本题考查本题考查解三角形、三角形面积公式、基本不等式等基础知识;考查应用意识、运算求解能力;考查化归与转化思想、函数与方程思想;考查数学抽象,数据处理等.【试题简析】( Ⅰ) 解法一:由题意得SABC SADCSABD,1故AC AB sin BAC 1AC AD sin DAC1AD AB sin BAD ,2 2 2即1xysin1201y sin 601x sin 60 ,2 2 2所以xy y x ( 其中0 x 5, 0 y 5 ).解法二:在ACD 中,由余弦定理得:CD 2y2 12 2 y cos 60 22y 1 ,则CD y2y 1 ,同理可得BD x2x 1 ,在ACD 中,由正弦定理得:y y2 y 1,sin ADC sin 60在ABD 中,由正弦定理得:x x2 x 1,sin ADB sin 60因为sin ADC sin ADB ,两式相除可得y x2 x 1 x y2y 1 ,化简得xy y x ( 其中0x 5 ,0y 5 ).( Ⅱ) 设ACD 区域每平方公里的绿化费用为t ( t 为常数) ,两区域总费用为P ,则有 P 1 x sin 60 2t 1y sin 60 t3t(2 x y) , 2 24 记 u2x y ,由 ( Ⅰ ) 可知 xy y x ,即1 1 1 ,xy则 u 2x y (2 x y)(1 1) y 2x 3 2y 2x 3 2 2 3, x yx y x yy2 x y 2x ,2x 1,当且仅当,即xyxy解得2 此时等号成立 .xy y x ,y 1 2,答:当 x 12 ,y212 ( 单位:公里 ) 时, 所需的总费用最少 .13. 解:( 1)因为 sin A 2sin C ,所以 a 2c .于是,cos Ca2b2c22ab22c 23c c 22 7 .38 2 2c c2(2)由cos C7 可得 sin C815 . 8设 ABC 的面积为 S ,∴ S1absin C 1 2c 3 c 15 3 15 ,∴ c 2 4, c2 .则 a4, b 22 2843 .∵ BD 为 B 的平分线,∴a CD cAD2,∴ CD2 AD .又 CD AD 3 .∴ CD 2, AD 1 .在 BCD 中,由余弦定理可得 2227 422 4 26 ,∴ BD 6 .814.f ( x) 1 cos 2 x sin 2 x 3(1 cos 2 x) 1 sin 2 x cos 2 x 22 sin(2 x)2 243当 2 x2k, 即 x k42(k Z ) 时, 8f ( x) 取得最小值 22 .6 分BD函数f(x) 图像的对称中心坐标为k , 22 8k Z . 8 分(2) f (x) 2 2 sin(2 x) 由题意得: 2 k42 x 2k2 4(k Z )2即: k3x k (k Z) 因此函数 f ( x) 的单调增区间为[ k3, k ]( k Z ) 8 8 8 812 分15.(1) 略;(2) 2 ,{x∣x= π/4+2k πk ∈z}16. 解(1) 因为 2 asin A=( 2 b-c)sin B+( 2 c-b) ·sin C,由正弦定理得 2 a2=( 2 b-c)b+( 2 c-b)c,整理得 2 a2= 2 b2+ 2 c2-2bc,由余弦定理得cos A=b c2 a=2bc2bc=2,2bc 2因为A∈(0,π,)所以A=.42 5 (2) 由cos B=5 ,得sin B= 1 cos2B = 14=5,5 5所以cos C=cos[ π-(A+B)] =-cos(A+B)=-(2 2 52 52 5)=10,2 5 10由正弦定理得b=asin B=sin A5105 =2,22所以CD =1AC=1,2在△BCD 中,由余弦定理得BD2=( 10 )2+12-2×1×10 ×(所以BD=13 .10)=13,1017. 解:(1)在ABC 中,由正弦定理得sin B cos A3sin A3sin C ,又C ( A B) ,所以sin B cos A3sin A3sin( A B) ,2 2故sin B cos A3sin A3sin A cos B cos Asin B , 4 分所以sin Acos B3sin A ,3又A (0, ) ,所以sin A 0 ,故cos B36 分3(2) D 2 B ,cos D 2cos 2 B 1 17 分3又在ACD 中,AD 1 ,CD 3∴由余弦定理可得AC2AD2CD 22AD CD cosD 1 9 2 3 ( 1) 12 ,3∴AC 2 3 ,9 分在ABC 中,BC 6 ,AC 2 3 ,3 cosB ,3∴由余弦定理可得AC 2AB2BC 2 2 AB BCcosB ,23 2即12 AB 6 2 AB 6 ,化简得AB32 2 AB 6 0 ,解得AB3 2 .故AB 的长为3 2 .12 分。