专题分层训练(二十五) 小题综合限时练(2)(时间：45分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )A．所有奇数的立方都不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数解析全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”．答案 C2．已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )A．－2i B．2iC．－4i D．4i解析由M∩N＝{4}，知4∈M，故z i＝4，故z＝4i＝4ii2＝－4i.答案 C3．若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析 由(a ＋1)×1＋2×(－a )＝0，得a ＝1.答案 C4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 mx 2＋ny 2＝1可以变形为x 21m＋y 21n＝1，m >n >0⇔0<1m <1n.答案 C5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x －sin 2x B ．y ＝lg|x | C ．y ＝e x －e －x2D ．y ＝x 3解析 由偶函数排除C 、D ，再由在区间(1,2)内是增函数排除A.答案 B6．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，那么输入的实数x 的取值范围是( )A ．{x ∈R |0≤x ≤log 23}B ．{x ∈R |－2≤x ≤2}C ．{x ∈R |0≤x ≤log 23，或x ＝2}D ．{x ∈R |－2≤x ≤log 23，或x ＝2} 解析 依题意及框图可得，⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <21≤2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧|x |≥2，1≤x ＋1≤3，解得0≤x ≤log 23或x ＝2. 答案 C7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )解析 根据已知得T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．答案 D8．设数集S ＝{a ，b ，c ，d }满足下列两个条件：(1)∀x ，y ∈S ，xy ∈S ；(2)∀x ，y ，z ∈S ，且x ≠y ，则xz ≠yz .现给出如下论断：①a ，b ，c ，d 中必有一个为0；②a ，b ，c ，d 中必有一个为1；③若x ∈S 且xy ＝1，则y ∈S ；④存在互不相等的x ，y ，z ∈S ，使得x 2＝y ，y 2＝z .其中正确论断的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 取满足题设条件的集合S ＝{1，－1，i ，－i}，即可迅速判断②③④是正确的论断．答案 C9．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是( )解析 由三视图可知此几何体为一个底朝上的圆锥，向容器中匀速注水，说明单位时间内注入水的体积相等．设为V 0，由锥体的体积公式可知V ＝13πr 2h ，又r ＝h tan θ(其中θ为圆锥轴截面两母线夹角的一半)， ∴V ＝13πh 3tan 2θ＝tV 0，即h ＝kt 13(k 为常数)，故选B.答案 B10．若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件： ①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上；②M ，N 关于原点对称，则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析由题意，当x>0时，将f(x)＝log3x的图象关于原点对称后可知g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图象与x<0时f(x)＝－x2－4x存在两个交点，故“友好点对”的数量为2.答案 C11．定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．其中正确结论的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析因为(a*b)*c＝[lg(10a＋10b)]*c＝lg(10lg(10a＋10b)＋10c)＝lg(10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝a*[lg(10b＋10c)]＝lg(10a＋10lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10b＋10c)，∴(a*b)*c＝a*(b*c)，即①对；∵a*b＝lg(10a＋10b)，b*a＝lg(10b＋10a)，∴a*b＝b*a，∴②对；(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c＝lg[(10a＋10b)×10c]＝lg(10a＋c＋10b＋c)＝(a ＋c )*(b ＋c )，即③对． 答案 D12．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈R )．规定：给定一个实数x 0，赋值x 1＝f (x 0)，若x 1≤257，则继续赋值x 2＝f (x 1)；若x 2≤257，则继续赋值x 3＝f (x 2)；……以此类推．若x n －1≤257，则x n ＝f (x n －1)，否则停止赋值．已知赋值k (k ∈N *)次后该过程停止，则x 0的取值范围是( )A ．(27－k ＋1,28－k ＋1]B ．(28－k ＋1,29－k ＋1]C ．(29－k ＋1,210－k ＋1]D ．(28－k,29－k ]解析 依题意得x n ＝2x n －1－1， 则x n －1＝2(x n －1－1)， 于是x n －1＝2n (x 0－1)， 即x n ＝2n (x 0－1)＋1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x k －1≤257，x k >257，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1(x 0－1)＋1≤257，2k(x 0－1)＋1>257，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1(x 0－1)≤28，2k (x 0－1)>28，由此解得28－k ＋1<x 0≤29－k ＋1， 即x 0的取值范围是(28－k ＋1,29－k ＋1]． 答案 B二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．解析 由题意知c ＝5，又离心率等于ca＝5，所以a ＝5，b 2＝20，从而双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案x 25－y 220＝1 14．若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 解析 设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.答案 －e15．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．解析 令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ， 即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6，∴y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1216．设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x ＋k ∈D ，且f (x ＋k )>f (x )恒成立，那么称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－2a ，若f (x )为R 上的“2013型增函数”，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意得，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a (x ≥a )，－x －a (x <a ).当a ≥0时，函数f (x )的图象如图(1)所示，考虑极大值f (－a )＝2a ， 令x －3a ＝2a ，得x ＝5a ， ∴只需满足5a －(－a )＝6a <2013， 即0≤a ＜6712；当a <0时，函数f (x )的图象如图(2)所示， 且f (x )为增函数， ∵x ＋2013>x ，∴满足f (x ＋2013)>f (x )． 综上可知，a <6712.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，6712。