小题专项综合练(四)1．复数2＋i 1－2i的共轭复数是________． 答案 －i解析 方法一 ∵2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2＋i ＋4i －25＝i ， ∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 方法二 ∵2＋i 1－2i ＝－2i2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i ＝i. ∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 2．已知集合M ＝{x|x x －1≥0，x ∈R}，N ＝{y|y ＝3x2＋1，x ∈R}，则M∩N ＝________. 答案 {x|x>1}解析 由x x －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠1，x (x －1)≥0， ∴x>1或x≤0，∴M ＝{x|x>1或x≤0}，N ＝{y|y≥1}，M∩N ＝{x|x>1}．3．已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)＝________.答案 45解析 ∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435，∴32sin α＋12cos α＝－45，∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.4．(2014·陕西改编)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为x 和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为________．答案 x ＋100，s2解析x1＋x2＋…＋x1010＝x ，yi ＝xi ＋100，所以y1，y2，…，y10的均值为x ＋100，方差不变．5．若不等式(a －a2)·(x2＋1)＋x≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ 解析 ∵x ∈(0,2]，∴a2－a≥x x2＋1＝1x ＋1x. 要使a2－a≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a2－a≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12.故a2－a≥12，解得a≤1－32或a≥1＋32.6．(2014·浙江)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．答案 6解析 输入n ＝50，由于i ＝1，S ＝0，所以S ＝2×0＋1＝1，i ＝2，此时不满足S>50；当i ＝2时，S ＝2×1＋2＝4，i ＝3，此时不满足S>50；当i ＝3时，S ＝2×4＋3＝11，i ＝4，此时不满足S>50；当i ＝4时，S ＝2×11＋4＝26，i ＝5，此时不满足S>50；当i ＝5时，S ＝2×26＋5＝57，i ＝6，此时满足S>50，因此输出i ＝6.7．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB→＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的________心，________心，________心． (注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)答案 外 重 垂解析 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知O 为△ABC 的外心．∵PA →·PB →＝PB →·PC →，∴(PA →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0，同理AB →·PC →＝0，BC →·PA →＝0，∴点P 是△ABC 的垂心，由NA →＋NB →＋NC →＝0知NA →＋NB →＝－NC →，结合向量加法的平行四边形法则知N 为△ABC 的重心．8．函数y ＝x sin 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫0，π2的图象可能是下列图象中的________．(填序号)答案 ③ 解析 由函数y ＝x sin 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫0，π2是偶函数，则①错；又由函数y ＝sin 2x ，y ＝2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的图象可知恒有2x>sin 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以y ＝x sin 2x >12，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则②④错，故③符合．9．函数f(x)在[a ，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a ，b]，有f(x1＋x22)≤12[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a ，b]上具有性质P .设f(x)在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1，3]上具有性质P ；③若f(x)在x ＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x ∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f(x1＋x2＋x3＋x44)≤14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]． 其中真命题的序号是________．答案 ③④解析 ①中，反例：取函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2，x ∈[1，2)∪(2，3]，2，x ＝2，则函数f(x)满足题设条件具有性质P ，但函数f(x)的图象是不连续的．②中，反例：f(x)＝－x 在[1,3]上具有性质P ，f(x2)＝－x2在[1，3]上不具有性质P .③中，在[1,3]上，f(2)＝f(x ＋(4－x )2)≤12[f(x)＋f(4－x)]⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋f (4－x )≥2，f (x )≤f (x )max ＝f (2)＝1，f (4－x )≤f (x )max ＝f (2)＝1⇒f(x)＝1， 所以，对于任意x1，x2∈[1,3]，f(x)＝1.④中，f(x1＋x2＋x3＋x44)＝f((x1＋x2)＋(x3＋x4)4) ≤12[f(x1＋x22)＋f(x3＋x42)]≤12[12(f(x1)＋f(x2))＋12(f(x3)＋f(x4))]≤14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．由以上推断可知①②错误，③④正确．10．已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直；②平面PBC 与平面ABCD 垂直；③△PCD 的面积大于△PAB 的面积；④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)答案 ①③解析 由条件可得AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD·PD ，S △PAB ＝12AB·PA ，由AB ＝CD ，PD>PA 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错．11.如图所示，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的四周留出左右宽2米，上下宽1米的小路，则占地总面积的最小值是________平方米．答案 968解析 设鱼池的长EH ＝x ，则EF ＝800x ，占地总面积是(x ＋4)·⎝⎛⎭⎫800x ＋2＝808＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ≥808＋2·2x·1 600x ＝968.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时，取等号．12．设抛物线y2＝2x 的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则AF ＋4BF 的最小值为________．答案 92 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得AF ＋4BF ＝x1＋p 2＋4⎝⎛⎭⎫x2＋p 2＝x1＋12＋4⎝⎛⎭⎫x2＋12＝x1＋4x2＋52，设直线AB 的方程为ky ＝x －12，联立抛物线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ky ＝x －12，y2＝2x 消元整理得y2－2ky －1＝0，由根与系数的关系可得y1y2＝－1，又A ，B 在抛物线上，代入方程得y21y22＝2x1·2x2＝4x1x2＝1，即x1x2＝14，因此根据基本不等式AF ＋4BF ＝x1＋4x2＋52≥2x1×4x2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x1＝4x2时取得最小值92.13．已知y ＝f(x)是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，那么在区间[－1,3]内，关于x 的方程f(x)＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k≠1)有4个根，则k 的取值范围为________．答案 (－13，0)解析 由图象可知，在l1，l2之间的直线都满足与函数图象在区间[－1,3]上有4个交点，结合图象可知k 的取值范围为(－13，0)．14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1，y≤2x －1，x ＋y≤m ，如果目标函数z ＝x －y 最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数最大值的取值范围是________．答案 [3,6]解析 (x ，y)满足的区域如图，变换目标函数y ＝x －z ，当z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大时．当z 的最小值为－1时，直线y ＝x ＋1，此时点A 的坐标是(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z ＝－2时，直线y ＝x ＋2，此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5,8]．目标函数的最大值在点B(m －1,1)取得，即zmax ＝m －1－1＝m －2，故目标函数最大值的取值范围是[3,6]．。