小题专项综合练(三)
1．已知全集U ＝R ，A ＝{x|x2－2x －3>0}，B ＝{x|2<x<4}，那么集合B∩(∁UA)＝________. 答案 {x|2<x≤3}
2．已知复数z1＝1＋i ，z2＝11＋i
在复平面内对应的点分别为P1，P2，O 为坐标原点，则向量OP1→，OP2→所成的角为________．
答案 π2
解析 因为z2＝11＋i
＝1－i 2，OP1→＝(1,1)，OP2→＝⎝⎛⎭⎫12，－12，所以OP1→·OP2→＝0， 故OP1→，OP2→的夹角为π2.
3．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“s in x ＋cos x≥62”发生的概率为________．
答案 13
解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＋cos x ≥62，0≤x≤π，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
sin (x ＋π4)≥32，0≤x≤π，即π12≤x≤5π12. 根据几何概型的计算方法，所以所求的概率为P ＝5π12－π12π＝13.
4．设α表示平面，a ，b 表示两条不同的直线，给定下列四个命题：
①a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b. 其中正确的是________．
答案 ②④
解析 在①中，当a ∥α，a ⊥b 时，b 与α的位置关系无法确定；在③中，当a ⊥α，a ⊥b 时，可得b ∥α或b ⊂α，故①③错，易证②④正确．
5．下列不等式中，一定成立的是________．
①lg ⎝⎛⎭
⎫x2＋14>lg x(x>0)； ②sin x ＋1sin x ≥2(x≠kπ，k ∈Z)；
③x2＋1≥2|x|(x ∈R)；
④1x2＋1
>1(x ∈R)． 答案 ③
解析 取x ＝12否定①，取x ＝－π4否定②，取x ＝0否定④.
6．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x －a1)(x －a2)…(x －a8)，则f′(0)＝________. 答案 212
解析 ∵f(x)＝x(x －a1)(x －a2)…(x －a8)，
∴f′(x)＝x′(x －a1)…(x －a8)＋x[(x －a1)…(x －a8)]′ ＝(x －a1)…(x －a8)＋x[(x －a1)…(x －a8)]′，
∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4
＝(2×4)4＝(23)4＝212.
7．定义在R 上的函数y ＝f(x)在(－∞，a)上是增函数，且函数y ＝f(x ＋a)是偶函数，当x1<a ，x2>a ，且|x1－a|<|x2－a|时，f(x1)与f(x2)的大小关系为________．
答案 f(x1)>f(x2)
解析 因为函数y ＝f(x ＋a)是偶函数，其图象关于y 轴对称，把这个函数图象平移|a|个单位(a<0左移，a>0右移)可得函数y ＝f(x)的图象，因此函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，此时函数y ＝f(x)在(a ，＋∞)上是减函数．由于x1<a ，x2>a 且|x1－a|<|x2－a|，说明x1与对称轴的距离比x2与对称轴的距离小，故f(x1)>f(x2)．
8．函数y ＝f(x)的图象如图所示，则函数y ＝log 12f(x)的图象大致是________．
答案 ③
解析 由函数y ＝f(x)的图象知，当x ∈(0,2)时，f(x)≥1，
所以log 12f(x)≤0.
又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，
所以y ＝log 12f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各图象知，③符合．
9．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的
夹角的取值范围是________．
答案
⎣
⎡
⎦
⎤
π
12，
5
12π
解析由题意，得：OA
→
＝OC
→
＋CA
→
＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A的轨迹是圆
(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量OA
→
与圆相切时，向量OA
→
与向量OB
→
的夹角分别达到最大、最小值．
10．设x，y满足约束条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧x－y≥－1，
x＋y≤3，
x≥0，
y≥0，
则z＝x－2y的取值范围为________．
答案[－3,3]
解析如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，易知点A(1,2)，B(3,0)分别为目标函数取得最小值和最大值的最优解，即zmin＝1－2×2＝－3，zmax＝3－2×0＝3，故z＝x－2y的取值范围是[－3,3]．
11．执行下面的程序框图，则输出的S的值是________．
答案63
解析由程序框图知，当n＝1时，S＝1＋21＝3；当n＝2时，S＝3＋22＝7；当n＝3时，S ＝7＋23＝15；当n＝4时，S＝15＋24＝31；当n＝5时，S＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S的值是63.
12．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1
的中点，P 是上底面的棱AD 上的点，AP ＝a 3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，
则PQ ＝________.
答案 22
3 a 解析 如图所示，连结AC ，
易知MN ∥平面ABCD ，
∴MN ∥PQ. 又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC. 又∵AP ＝a 3，
∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，
∴PQ ＝23AC ＝223 a.
13．某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该从高________学生中剔除________人，高一、高二、高三抽取的人数依次是________．
答案 二 2 80,60,50
解析 总体人数为400＋302＋250＝952，
∵952190＝5…2，4005＝80，302－25＝60，2505＝50，
∴从高二学生中剔除2人．
从高一、高二、高三年级中分别抽取80人、60人、50人．
14．设A ，B 为双曲线x2a2－y2b2＝λ(a>0，b>0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量
m ＝(1,0)，|AB →|＝6，AB →·m |m|＝3，则双曲线的离心率为________．
答案 2或233
解析 设AB →与m 的夹角为θ，
则AB →·m |m|＝6cos θ＝3，所以cos θ＝12.
所以双曲线的渐近线与x 轴成60°角，可得b a ＝ 3.
当λ>0时，e ＝c a ＝ 1＋(b
a )2＝2；
当λ<0时，e ＝c
b ＝ 1＋(a b )2＝23
3.。