勇于开始，才能找到成 功的路
构造位移函数： 对u,v分别利用节点条件：
对于一般四边形，逆矩阵的表达式比较复杂。
N—单元形状函数矩阵 qe —单元节点位移矩阵
特例：4节点矩形单元
矩形单元的重心坐标
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。
单元集成：系统的总势能 变分处理：系统的平衡方程（组） 应用位移边界条件求出节点位移 由节点位移求出单元的应变、应力
Step 1. 几何离散——采用3节点三角形单元
体力：重力（密度 ）
ห้องสมุดไป่ตู้
整体节点 位移列阵
整体等效节 点力列阵
厚度：t p
表面力
单位体积力
Step 2. 单元分析——构造单元位移函数
矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用。更为一般的方法是通过等参变换将局部 自然坐标系内的规格化矩形单元变换为总体坐 标系内的任意四边形单元（包括高次曲边四边 形单元）。
三维问题的有限元求解过程
• 离散时采用体单元：四面体或六面体 • 求解步骤和平面问题完全一样 • 单元分析的时候将二维扩充到三维
准则1：完备性—包含常应变项和刚体位移项
➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最 高阶导数是m阶，则选取的位移函数至少是 m阶完全多项式。
准则2：协调性—相邻单元公共边界保持位移连
续
➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最 高阶导数是m阶，则位移函数在单元交界面 上必须具有直至(m-1)阶的连续导数，即Cm1连续性。
Step 3. 单元分析——单元势能
单元应变能：
单元刚度矩阵
单元外力功：
单元等效节点力列阵
Step 4. 单元集成——系统势能
扩充叠加 扩充叠加
关于单元刚度矩阵的扩充叠加
mi j
单元编号
m<i<j
m
i
j
关于单元等效节点载荷列阵的扩充叠加
单元编号
m<i<j
m
i
j
Step 5. 变分处理
Step 6: 处理位移边界条件并求解 Step 7: 计算每个单元的应变及应 力
形状函数矩阵
应变矩阵
单元刚度矩阵
对称
单元等效节点力列阵
3.4 有限元分析中的若干问题探讨
单元位移函数的构造 单元形状函数的性质 单元刚度矩阵的特点 整体刚度矩阵的特点 位移边界条件的处理 位移单元解的下限性
单元位移函数的构造满足收敛性要求
收敛——单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真解
分块检验由B.M.Irons首先提出，已经证明它给出了收敛性的充分条件。
单元形状函数的性质（m个节点）
平面问题Pascal三角形
三维问题Pascal四面体
C0型单元——势能泛函中所出现的位移 函数的最高阶导数是1阶，在单元交界面 上具有0阶的连续导数(平面问题单元、 空间问题单元)。
C1型单元——势能泛函中所出现的位移 函数的最高阶导数是2阶，在单元交界面 上具有1阶的连续导数（梁单元、板壳单 元等）。
3.3 连续体弹性问题的有限元求解过程
首先看一个简单的平面问题：
材料：低碳钢 体力：重力（密度 ） 面力：p=1 N/mm2 厚度：t 等腰直角三角形腰长: l=20mm 求：顶点处的位移？ p
平面问题的有限元求解过程
几何离散：三角形单元或四边形单元
三角形单元——平面问题中最简单的单元
单元特征分析 ➢构造位移函数 ➢单元应变能 ➢单元外力功（单元等效节点力）
构造位移函数：
1i
编号对应关系： 2 j
(局部 整体)
3m
先采用局部编号，最后换成整体
对u利用节点条件：
A: 三角形面积
因此： 同理可得：
N—单元形状函数矩阵 qe —单元节点位移矩阵
Step 2. 单元分析——应变
应变矩阵
Step 2. 单元分析——应力
平面应力：
应力矩阵
平面应变：用平面应变弹性矩阵代入得到类似结果。
北航有限元第3讲弹性问 题有限元方法2
2020年4月22日星期三
第3讲 弹性问题的有限元方法(2)
3.3 连续体弹性问题的有限元求解过程
➢ 平面问题 (三角形单元、四边形单元) ➢ 三维问题（四面体单元、六面体单元）
3.4 有限元分析中若干问题的探讨
➢ 位移函数的构造要求 ➢ 单元形状函数的性质 ➢ 刚度矩阵（单元、整体）的特点 ➢ 位移边界条件的处理 ➢ 位移单元解的下限性
位移函数（模式）是指单元内位移分布状态，事先并不知 道，合理选择一种函数来逼近这种分布是有限元分析计算 过程中关键性的一环。
在实际应用中普遍采用的是多项式函数，这是因为多项式 函数的数学运算（微分和积分）比较方便，而且所有光滑 函数的局部都可以用多项式来逼近。
关于多项式的项数和阶次，要根据单元的节点自由度数和 有关解的收敛性要求来确定。对于平面问题，位移函数如 下：
如果在单元交界面上位移不连续，表现 为当结构变形时将在相邻单元间产生缝 隙或重叠，这意味着将引起无限大的应 变，这时必然会发生交界面上的附加应 变能补充到系统的应变能中去，有限元 解就不可能收敛于真正解。
多项式的Pascal模式
构造一个单元的位移模式时，应参考由多项式函数构 成的Pascal三角形或四面体 ➢ 从低阶到高阶 ➢ 多项式的项数由节点位移条件确定
关于非协调单元
当单元的位移函数满足完备性要求时，称单元 是完备的（通常较容易满足）。当单元的位移 函数满足协调性要求时，称单元是协调的。
当势能泛函中位移函数的导数是2阶时，要求 位移函数在单元的交界面上具有C1或更高的连 续性，这时构造单元的插值函数往往比较困难 。在某些情况下，可以放松对协调性的要求， 只要单元能够通过分块试验 (Patch test)，有限 元分析的解答仍然可以收敛于正确的解。这种 单元称为非协调单元。
关于三角形单元
3节点三角形单元是常应变（常应力）单元。在应变 梯度较大的部位（亦即应力梯度较大的部位），单元 划分应适当密集，否则不能反映真实的应变变化而导 致较大的误差。
提高计算精度的其它措施 ➢ 采用高精度三角形单元（2次单元、3次单元…） ➢ 采用四边形单元（1次单元、2次单元…）
4节点四边形单元