1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行 的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到 求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单 元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系 的单元刚度矩阵。
KR
kk4 3 113 3 kk1 22 21 1 kk4 3 114 4 kk1 22 22 2u v2 2X Y22
实例2 （连续问题）
通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a)
单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E
x L
0
u
N
N
L
3
5 qa2
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其 中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理）， 钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限 单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究 工作受到阻碍。
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程 问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展， 为工程设计和优化提供了有力的工具。
有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述 的场问题的求解。
1-6 有限元法的几个热点问题
• 新型单元的研究
1、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究 2、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究
• 面向物理问题的有限元建模
如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算法 等
• 有限元法计算速度的研究
u
1 2
k
1 14
v
1 2
F
1 y1
k
1 2
1
u
1 1
k
1 2
2
v
1 1
k
1 2
3
u
1 2
k
1 2
4
v
1 2
F
1 x2
k
1 3
1
u
1 1
k
1 3
2
v
1 1
k
1 33
u
1 2
k
1 3
4
v
1 2
F
1 y2
k
1 4
1
u
1 1
k
1 4
2
v
1 1
k
1 4
3
u
1 2
k
1 4
4
v
1 2
记为矩阵形式:
• 单元2节点力平衡方程
1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理 和结构分析论文。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。
1-5 有限单元法的形成与发展
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变 分原理和加权余量法。
在 1963 年 前 后 ， 经 过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法 就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理 导出的有限元计算公式。
1-3 有限元法基本思想
节点
vm
m (xm ym )
um
vi ui
vj
单元
y i( xi yi)
uj
j(x j y j) x
Y2
实例1(离散系统)结构离散 2 X 2
①
• 节点位移向量表示：
{1}[u1 1,v1 1,u1 2,v1 2]T
1
• 节点力向量表示：
{F1}[F x1 1,F y1 1,F x12,F y 12]T
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li Li1)
Li1
2
i+1
图 2-3
实例2 （单元分析）
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
x xi1
i-1
Li
i
u
u i1 u (x) ui
X 图 2-4
uu(x)ui1ui Liui1(XXi1)
εx
du ui dX
F 1
K
1
1
F2 K22
实例1（整体分析）
• 整体分析： 作用于每个节点上的节点力平 衡，即
Fxe1Xi
e1
Fye1Yi
e1
• 结合前式推导得：
kk121111
k112 k212
k113 k213
k114 k214
0 0 u1 X1
0
0
v1
Y1
kk341111
k312 k412
1-4 有限元法的基本步骤 力学模型
P
(平面应力问题)
• 所研究问题的数
学建模
• 物体离散
• 单元分析
• 整体分析与求解
• 结果分析及后处 理
P
有限元模型
1-5 有限单元法的形成与发展
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同 的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾 到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师 对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标 准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相 似性。
有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Application
第一章 绪论
1-1 工程和科学中典型问题
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题， 可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、 建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统。如左图所示 平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系 统是可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技 术。
2 u2 3 u3
图 2-6
假设线单元数为3个的情况，
平衡方程有3个：
i=1时，
2 u1
u2
q a2 EA
i=2时,
i=3时，
联立解得
u
1
5 2
qa2 EA
u12u2u3EqAa2
பைடு நூலகம்
u2 u3
q a2 2 EA
u
2
8 2
qa 2 EA
9 qa2 u 3 2 EA
与材料力学的精确解答在结点处完全相同
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成 变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤 求解。
1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin 法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
1-5 有限单元法的形成与发展
1-2 场问题的一般描述
---微分方程+边界条件
1) 应力场----弹性力学 2) 温度场----热传导
y
3) 电磁场----电磁学 x
4) 流速场----流体力学
A、B----微分算子（如对坐 标或时间的微分）
u----未知场函数，可为标量 场（如温度），也可为矢 量场（如位移、应变、应 力等）
A1(u) A(u)=A2(u) 0
...
B(u) BB12((uu))0 ...
在内 在上
实例：二维热传导（稳态）问题
•原理：从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源 产生的热量Q平衡
• 基本方程：
A ( )(k ) (k ) Q 0 内 x x y y
• 边界条件：
0 上
v
1 2
F y12
• 节点1沿x方向的位
2
移 移 为全：(uE11l1为A)10、l时1 其轴E余A向cl节1o压s点力位1v11Fy11u11
①
F x11
u
1 2
F x12
②
3
F
2 y2
2
F x22
②
F y23
3
F x23
实例1（单元分析）
• 节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为：
1-1工程和科学中典型问题
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题 等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问 题称为连续系统，或场问题。
尽管已经建立了连续系统 的基本方程，由于边界条件 的限制，通常只能得到少数 简单问题的精确解答。对于 许多实际的工程问题，还无 法给出精确的解答，例如图 示 V6 引 擎 在 工 作 中 的 温 度 分 布。为解决这个困难，工程 师们和数学家们提出了许多 近似方法。
将位移和内力的关系代入得
ui-1(1i)uiiui 12E qA (11 i)L i2
用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，… n有n个方程
未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力
实例2 （整体分析与求解）
有限单元法求解直杆拉伸：
L1 a L2 a L3 a
0 u0 1 u1
k313 k121 k413 k221
k311 k122 k414 k222
k123 k223
k124 k224