解三角形
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，c＝2，b＝1，则a＝()
A．1 B. 3
C．2 D．3
2．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线l1：sin A·x＋ay＋c ＝0与l2：bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是()
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
3．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是()
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
4．在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分，则cos A等于()
A.1
3 B.
1
2
C.3
4D．0
5．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()
A.
3
2 B.
33
2
C.3＋6
2 D.
3＋39
4
6．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为()
A．1<a<5 B．1<a<7
C.7<a<5
D.7<a<7
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，且
A ．43－1 B.37 C.13
D ．1
8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π
6] B ．[π
6，π) C ．(0，π
3]
D ．[π
3，π)
9．如图，△ADC 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 与AC 交于E 点．若AB ＝2，则AE 的长为( )
A.6－ 2
B.1
2(6－2) C.6＋ 2
D.1
2(6＋2)
10．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )
A.31010
B.1010
C.510
D.515
11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝π
3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )
A ．1
B ．2
12．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° D ．b ＝c ＝1，B ＝45°
13．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0
D ．不确定
14．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )
A.43 B ．8－4 3 C ．1
D.23
15．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程(a 2＋bc )x 2＋2b 2＋c 2x ＋1＝0有两个相等的实数根，则A 的度数是( )
A ．120°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
16．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对应边，C ＝60°，则b a ＋c ＋a b ＋c 的
值为( )
A.12
B.22 C ．1
D. 2
17．海上有两个小岛A 、B 相距10海里，从A 岛望B 岛和C 岛成60°视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角，则B 、C 间的距离是( )
A ．5海里
B ．56海里
C ．10海里
D ．106海里
A ．(0,2)
B ．(2，2)
C ．(2，3)
D ．(3，2)
19．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是( ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
20．某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d 1与第二辆车和第三辆车之间的距离d 2之间的关系为( )
A ．d 1>d 2
B ．d 1＝d 2
C ．d 1<d 2
D ．不能确定大小
二、填空题
21.在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________. 22．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1
4，则b ＝________.
23.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两货轮的距离为________海里．
24．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝8∶9∶10，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.
25．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①若a >b ，则函数f (x )＝(sin A －sin B )x 在R 上是增函数；②若sin2A ＝sin2B ，则A ＝B ；③若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ；④若ab >c 2，则0<C <π3.
26．在相距2 km 的A 、B 两点处测量目标点C .若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离是________km.
27．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，a ＝2(3＋1)，则S △ABC ＝________. 28．已知在△ABC 中，7sin A ＝8sin B ＝13
sin C ，则C 的度数为________．
29．在△ABC 中，已知b ＝a sin C 且c ＝a sin(90°－B )，则△ABC 的形状为________．
30．如图，要在山坡上A 、B 两处测量与地面垂直的铁塔CD 的高，由A 、B 两处测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，AB 长为40 m ，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD 的高为________m.
三、解答题
31．解答下列各题：
(1)在△ABC 中，已知C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求此三角形最小边的长及a 与B 的值；
(2)在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝120°，b ＝5，求C 及a 与c 的值．
32．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．
33．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．
34．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .
(1)求证：b 2＝ac ；
(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .
35．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －
c sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋B ＝a .
(1)求证：B －C ＝π2；
(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．
36．已知a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b ＝5，S＝53，求c的长度．
37．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
38．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2c sin A.
(1)确定角C的大小；
(2)若c＝7，且△ABC的面积为33
2，求a＋b的值．
39．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－2a sin C ＝b sin B.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
40.如图，在南沙某海岛有一观察哨A，上午11时测得一船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分船到达位于海岛正西方向且距海岛5海里的E港口．如果船始终匀速直线航行，求船的速度(单位：海里/小时)．
41．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?。