四川省成都市成都市第七中学2020-2021学年上学期高三期中数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，集合B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B ＝（ ）A ．{x|－1＜x ＜3}B ．{x|－1＜x ＜1}C ．{x|1＜x ＜2}D ．{x|2＜x ＜3} 2．观察下列散点图，其中变量x ，y 之间有线性相关关系的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．命题“()0000,,sin x x x π∃∈>”的否定是（ ）A ．()0000,,sin x x x π∀∉>B ．()0000,,sin x x x π∀∈<C ．()0000,,sin x x x π∀∈≤D ．()0000,,sin x x x π∀∉≤ 4．函数 ()43log f x x x =-的零点所在区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 5．某路口的交通信号灯在绿灯亮15秒后，黄灯闪烁数秒，然后红灯亮12秒后，如此反复，已知每个交通参与者经过该路口时，遇到红灯的概率为0.4，则黄灯闪烁的时长为（ ）A ．2秒B ．3秒C ．4秒D ．5秒 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．9B ．16C ．20D ．257．设实数x ，y ，满足022x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩＞＞＜，则2x +y 的取值范围（ ）A ．（4，6）B ．（3，6）C ．（3，5）D ．（3，4） 8．已知m 是直线，α，β是两个不同平面，且m ∥α，则m ⊥β是α⊥β的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．函数()2212x f x sin sinx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（ ） A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小周期为π的偶函数C ．最小周期为2π的奇函数D ．最小周期为2π的偶函数11．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，设c xa yb =+（其中x ，y ∈R ），若|c |＝3，则xy 的最大值（ ）A ．2 BC ．3 D．12．若函数满足f （x ）23430620x x x x x x a ⎧+-≤≤=⎨-≤⎩，，＜，的值域为[﹣4，4]，则实数的a 的取值范围（ ）A ．[1，+∞）B．1⎡⎣ C．⎤⎦ D ．[1，2]二、填空题13．设向量a =（﹣1，3），b =（2，﹣1），则()a ab ⋅-＝_____． 14．双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线均与x 2+y 2﹣4x +1＝0相切，则该双曲线离心率等于_____．15．我国古代数学巨著《九章算术》中将“底面为矩形，且有两个侧面都与底面垂直的四棱锥”叫做“阳马”，如图是一个阳马的正视图和俯视图，则其外接球的表面积为_____16．设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知c 2＝3（a 2﹣b 2），则tanA tanB=_____．三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和21n n S =-，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；（2）求证：()121221n nS S S n a a a +++-＞． 18．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面P AD 垂直底面ABCD ，∠P AD ＝∠ABC 2π=，设2PE EB =．（1）求证：AE 垂直BC ；（2）若直线AB ∥平面PCD ，且DC ＝2AB ，求证：直线PD ∥平面ACE ．19．某中学学校对高三年级文科学生进行了一次自主学习习惯的自评满意度的调查，按系统抽样方法得到了一个自评满意度（百分制，单位：分）的样本，如图分别是该样本数据的茎叶图和频率分布直方图（都有部分缺失）．（1）完善频率分布直方图（需写出计算过程）；（2）分别根据茎叶图和频率分布直方图求出样本数据的中位数m 1和m 2，并指出选用哪一个数据来估计总体的中位数更合理（需要叙述理由）．20．如图，F 1（﹣2，0），F 2（2，0）是椭圆C ：()2222100x y a b a b+=＞，＞的两个焦点，M 是椭圆C 上的一点，当MF 1⊥F 1F 2时，有|MF 2|＝3|MF 1|．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P （0，3）作直线l 与轨迹C 交于不同两点A ，B ，使△OAB 中O 为坐标原点），问同样的直线l 共有几条？并说明理由．21．设函数()1xe f x ax =+，其中a 为常数：e ≈2.71828为自然对数的底数． （1）求曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）若∀x ＞0，不等式()1x e f x ax-＜恒成立，求a 的取值范围． 22．在平面直角坐标系xOy 中，动点P （x ，y ）的坐标满足2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线l 的极坐标方程为ρsin （θ+φ）＝cosφ（其中φ为常数，且φ2k k Z ππ≠+∈，）（1）求动点P 的轨迹C 的极坐标方程；（2）设直线l 与轨迹C 的交点为A ，B ，两点，求证：当φ变化时，∠AOB 的大小恒为定值．23．已知不等式|x +1|＞|2﹣x |+1的解集为M ，且a ，b ，c ∈M ．（1）比较|a ﹣b |与|1﹣ab |的大小，并说明理由；（2）若111a b c++=a 2+b 2+c 2的最小值．参考答案1．A【解析】由已知，集合A ＝（－1，2），B ＝（1，3），故A ∪B ＝（－1，3），选A考点：本题主要考查集合的概念，集合的表示方法和并集运算.2．D【解析】【分析】直接利用线性相关的定义得到答案。

【详解】A 选项具有确定的函数关系，根据线性相关定义：散点图在一条直线附近波动，据此判断D 满足，故选：D【点睛】本题考查了散点图，属于简单题.3．C【分析】把结论否定，同时存在改为任意．【详解】命题“()0000,,sin x x x π∃∈>”的否定是“()0000,,sin x x x π∀∈≤”故选：C ．【点睛】本题考查命题的否定，注意命题的否定只是否定结论，但是全称命题和特称命题一定记住“存在”改成“任意”；“任意”改成“存在”4．C【分析】函数()43log f x x x=-在()0,∞+上单调递增，计算()10f <；()20f <；()30f <；()40f >；()50f >，根据零点存在定理得到答案。

()43log f x x x=-，则()130f =-<；()210f =-<；()43log 310f =-<； ()1404f =>；()435log 505f =->； 易知函数()43log f x x x =-在()0,∞+上单调递增 根据零点存在定理知：()3,4之间有唯一零点故选：C【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用，计算函数值的正负是解题的关键。

5．B【分析】 根据几何概型得到120.41215P t ==++，计算得到答案。

【详解】设黄灯闪烁的时长为t 秒，则120.431215P t t==∴=++ 故选：B【点睛】本题考查了几何概型求概率，意在考查学生的应用能力。

6．D【分析】根据程序框图依次计算得到答案。

【详解】根据程序框图依次计算： 0,1;1,3;4,5;9,7;16,9;25,11S k S k S k S k S k S k ============ 结束，输出25S =故选：D【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和计算能力。

7．B画出可行域和目标函数，根据平移得到取值范围。

【详解】如图所示：画出可行域和目标函数当过点()2,2时，即2,2x y ==时有最大值为6；当过点()1,1时，即1,1x y ==时有最大值为3；即()23,6x y +∈故选：B【点睛】本题考查了线性规划问题，画出可行域和目标函数是解题的关键。

8．A【分析】分别判断充分性和必要性得到答案。

【详解】当m β⊥时，已知m α则αβ⊥，充分性；当αβ⊥时，已知m α，可以得到{},,m mm A βββ⊆⋂=，故不必要；故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力。

9．B【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。

【详解】()()()()3131322111i i i z i i z i z i i i i -++-++∴===--∴=-+--+（﹣）＝﹣对应点为()2,1- 故选：B【点睛】 本题考查了复数的化简和共轭复数，意在考查学生的计算能力。

10．A【分析】化简得到()1sin 22f x x =-，再判断奇偶性和周期得到答案。

【详解】 ()212sin 1sin cos sin sin 222x f x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭ 函数为奇函数且最小正周期为π故选：A【点睛】本题考查了三角函数的周期和奇偶性，化简得到()1sin 22f x x =-是解题的关键。

11．C【解析】【分析】根据||3c =得到229x y xy ++=，再利用均值不等式计算得到答案。

【详解】 c xa yb =+，则()2222222229c xa yb x a y b xya b x y xy =+=++⋅=++=229233x y xy xy xy xy xy =++≥+=∴≤，当x y == 故选：C【点睛】本题考查了向量的运算和均值不等式，意在考查学生的综合应用能力。

12．D【分析】先计算30x -≤≤()[]4,0f x ∈-，再讨论1a ≤和1a >两种情况，分别计算得到答案。

【详解】当30x -≤≤时，()()22424f x x x x =+=+-()()min 24f x f =-=-；()()max 00f x f ==，即()[]4,0f x ∈-；当0x a <≤时，()()()3262'6661f x x x f x x x x =--=∴=-1a ≤时，函数在0x a <≤单调递增即()()3max 6241f x f a a a a ==-=∴=或2a =-（舍去），故1a =1a >时，函数在01x <≤单调递增，在1x a <≤单调递减故()()max 14f x f ==，()()()236241202f a a a a a a =-≥-∴+-≤∴≤综上所述：[]1,2a ∈ 故选：D 【点睛】本题考查了根据分段函数的值域求参数范围，分类讨论是常用的技巧，需要熟练掌握。