第五章线性规划在管理中的应用5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。

管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。

可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：量，使得公司的利润最大化。

1、判别问题的线性规划数学模型类型。

2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。

3、建立该问题的线性规划数学模型。

4、用线性规划求解模型进行求解。

5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。

6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。

解：1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。

2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3决策的限制条件：8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件4x1+ 3x2≤350 车床限制条件3x1+ x3≤150 磨床限制条件即总绩效测试（目标函数）为：max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x33、本问题的线性规划数学模型max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2≤3503x1+ x3≤150x1≥0、x2≥0、x3≥04、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。

5、灵敏度分析目标函数最优值为 : 30变量最优解相差值x1 50 0x2 25 0x3 0 .083约束松弛/剩余变量对偶价格1 0 .052 75 03 0 .033目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 .4 .5 无上限x2 .1 .2 .25x3 无下限 .25 .333常数项数范围 :约束下限当前值上限1 400 500 6002 275 350 无上限3 37.5 150 187.5（1）最优生产方案：新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。

最大利润值为30元。

（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。

（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。

（4）目标函数系数范围表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。

（5）常数项范围表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。

各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。

6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2≤3503x1+ x3≤150x3≥18x1≥0、x2≥0、x3≥0这是一个混合型的线性规划问题。

代入求解模板得结果如下：最优解（44，10，18），最优值：28.5元。

灵敏度报告：目标函数最优值为 : 28.5变量最优解相差值x1 44 0x2 10 0约束松弛/剩余变量对偶价格1 0 .052 144 03 0 .0334 0 -.083目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 .4 .5 无上限x2 .1 .2 .25x3 无下限 .25 .333常数项数范围 :约束下限当前值上限1 460 500 6922 206 350 无上限3 18 150 1654 0 18 30（1）最优生产方案：新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。

最大利润值为28.5元。

（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。

（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。

（4）目标函数系数范围表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。

（5）常数项范围表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。

各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。

5.2 某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。

问应如何切割可使所用的原铜板为最少？解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10≥110x i≥0 （i=1，2…..10）用Excel线性规划求解模型板求解：最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。

即其结果为：即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 63.333变量最优解相差值x2 0 .056x3 0 .111x4 0 .111x5 20 0x6 0 .167x7 0 .167x8 25 0x9 0 .056x10 0 .111约束松弛/剩余变量对偶价格1 0 -.3332 0 -.2783 0 -.222目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 .75 1 1.071x2 .944 1 无上限x3 .889 1 无上限x4 .889 1 无上限x5 .833 1 1.083x6 .833 1 无上限x7 .833 1 无上限x8 .444 1 1.111x9 .944 1 无上限x10 .889 1 无上限常数项数范围 :约束下限当前值上限1 20 75 无上限2 0 50 1103 50 110 275这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。

松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。

三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。

这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。

常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。

这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。

5.3 某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。

各班次需要医生人数如下表：其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。

问在各班开始时应该分别有几位医生报到。

若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。

解：第一步：不考虑夜班津贴。

线性规划数学模型为：min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6S.T. x6+x1≥4x1+x2≥7x2+x3≥9x3+x4≥12x4+x5≥8x5+x6≥6x i≥0（i=1，2，3，4，5，6）用Excel线性规划求解模板求解得：第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。

总人数为25人。

灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 25变量最优解相差值x1 7 0x2 0 0x3 10 0x4 2 0x5 6 0x6 0 0约束松弛/剩余变量对偶价格1 3 .02 0 -13 1 .04 0 --15 0 . 06 0 --1目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 0 .1 1x2 1 1 无上限.x3 0 . 1 1x4 1 . 1 2x5 0 1 1x6 1 1 无上限常数项数范围 :约束下限当前值上限1 无下限 4 72 4 7 无上限3 无下限 9 104 11 12 无上限5 6 8 96 5 6 8这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。

“对偶价格”一栏。

第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；第二个常数项由7增加到8，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1，因为是求最小化问题，所以对偶价格为－1；第三个常数项由9增加到10，刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值；第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；第五个常数项由2增加到3，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。

因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。

若第2时段为0，则第3时段就为-1。

第二步：考虑夜班津贴。

线性规划数学模型为：min f=x1+x2+x3+x5+x6S.T. x6+x1≥4x1+x2≥7x2+x3≥9x3+x4≥12x4+x5≥8x5+x6≥6x i≥0（i=1，2，3，4，5，6）用Excel线性规划求解模板求解得：即：总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。

灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 15变量最优解相差值x1 0 1x2 7 0x3 2 0x4 10 0x5 0 0x6 6 0约束松弛/剩余变量对偶价格1 2 02 0 03 0 -14 0 05 2 06 0 -1目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 0 1 无上限x2 1 1 2x3 0 1 1x4 0 0 1x5 1 1 无上限x6 0 1 1常数项数范围 :约束下限当前值上限1 无下限 4 62 5 7 93 7 9 114 10 12 无上限5 无下限 8 106 4 6 无上限“对偶价格”一栏。