铁路公路曲线防样坐标计算方法一、
随着我国公路铁路的大力建设，对坐标放样的要求精度越来越高，以及通过一种快速的捷径来达到一次性对整个路基、桥梁的中线编辑公式，准确较快的计算出中心坐标，使得坐标放样在我们的施工中带来更大的方便。
1、首先熟悉测量知识圆曲线基本公式及概念。
偏角法测设圆曲线
1-1
知道了圆曲线的测设里程，即测设的曲线长Li ，即可进行计算，其计算公式如下：
π
α0180∙=R L i i
2
i
i
αδ=
i i R c δsin 2= （1-1）
式中，i δ，i c 为曲线测设曲线点i 的偏角与弦长。
切线支距法测设圆曲线
ZY
i i R x αsin ∙= )c o s 1(i i R y α-∙= π
180∙=R L a i i
（1-2）
1-2
式中i L 为曲线上点i 至ZY （或YZ ）的曲线长。
2、缓和曲线的基本公式及概念。
缓和曲线是直线与圆曲线之间的一种过渡曲线，它与直线分界处半径为∞，与圆曲线相接处半径与圆曲线半径R 相等，缓和曲线上任一点的曲率半径ρ与该点到曲线起点的长度成反比。
如下图中，存在公式： ρ∝l
1 或C
l =ρ （2-1）
公式中C 是一个常数，称缓和曲线半径变更率。
当0l l =时，R =ρ 所以C l R =∙0，C l =ρ，是缓和曲线的必要条件，实用中能满足这一条件的曲线可称为缓和曲线，如辐射螺旋线、三次抛物线等，我国缓和曲线均采用辐射螺旋线。
1-3
3、缓和曲线方程式：
按照C l =ρ为必要条件导出的缓和曲线方程为：
∙∙∙∙++-=∙∙∙∙∙++-=5
11
3734
9
25422403366345640C
l C l C l y C
l C l l x （3-1） 根据测设精度的要求，实际应用中可将高次项舍去，并顾及到C Rl =0，则上式变为
3
2
025
640Rl l y l R l l x =
-=（3-2）
式中，x ，y 为缓和曲线上任一点的直角坐标，坐标原点为直缓点（ZH ）或缓直（HZ ），通过该点的缓和曲线切线为x 轴。
1-4
l 为缓和曲线上任一点P 到ZH （或HZ ）的曲线长。
0l 为缓和曲线的总长度。
当0l l =时，则0x x =，0y y =，代入上式得
R
l y R l l x 64020
0230
00=
-
= （3-3）
式中0x x =，0y y =为缓圆点（HY ）或圆缓点（YH ）的坐标。
4、缓和曲线常数的计算。
0β、0δ、m 、p 、0χ、0y 等称为缓和曲线的常数，其物理意义及
几何关系由下图可以推出：（3-4）
R l R
l R l p R l l m R l R l 242688242402180631180220
3
40202
3
00
0000
00≈-=-
=∙
==∙
=π
βδβ
）
1-5
下面我们来推证最常用的两个常数0β、0δ。
4.1求0β
设β为缓和曲线上任一点的切线角；ρ为该点的曲线曲率半径；
l 为该点至ZH 点的缓和曲线长。
π
ββββββρβ0
00
00
2
00
0018022/,/∙=====
=
∴
∙===⎰
⎰
R l l l Rl l Rl ld d Rl dl l d Rl pl dl d l
l l
则
时，当代入上式，则将
（4-1）
4.2求0δ
3
6/1512tan tan 0
0000
00000
0β
δβδδδδ==
∴
∙=∴
-=
==
R l Rl dl l d x y x y 次项）代入上式，并取至二将（很小，故由上图得知： （4-2） 5、缓和曲线连同圆曲线的测设计算公式：
L
T q R
p R E R l R l L p R m T -=-∙+=+
=-+
=∙++=22
s ec )(180180)
2(22tan )(00
00
00切曲差外矢距曲线长切线长α
α
πβαπα
7
二
1、坐标方位角
熟悉了以上基本公式及概念后，知道什么是坐标方位角。
坐标方位角是以正北方向为起点，按顺时针方向旋转，其角度为（0~3600），已知两点的坐标，就可以求出这两点的坐标方位角，已知一点的坐标及该点到另一点的长度及坐标方位角，就可以求出另一点的坐标方位角；在计算坐标方位角时候要注意坐标方位角大小的问题，当计算坐标方位角为负时，应加上360度。
下面是计算坐标方位角的示例。
B
A
根据一已知A 点坐标及该点到B 点的距离及A-B 的坐标方位角，求B 点坐标。
其计算过程如下：
)5706.6s in(076.28)5706.6cos (076.28∙+=∙+=B B A B Y Y X X
其余几点按照同样的方法计算。
根据一已知B 点坐标及该点到B 点的距离及B-A 的坐标方位角，求A 点坐标。
其计算过程如下：
)
5706.186s in(076.28)
5706.186cos (076.28∙+=∙+=B A B A
Y Y X X
其余几点按照同样的方法计算。
从以上例子当中我们可以看出，根据一已知点坐标及该点到另一点的距离及方位角，就可以计算未知点的坐标，这就刚好符合我们在施工中，设计院一般给我们提供交点坐标，或者直缓点坐标，以及整个曲线线路的基本情况，根据这些条件，就可以求出我们在施工中需要放样的线路中心坐标或者桥梁墩台中心坐标。
下面举一个例子来说明具体的计算方法。
由1-7图可以知道，根据坐标方位角的定义，α为ZH 点的坐标方位角，XOY 坐标系一般是我国的大地坐标系，我国修铁路就是建立在我国的大地坐标系的基础上的，X 1OY 1 为我们施工时，根据设计院提供的JD 坐标或者是ZH 点坐标，自己建立的坐标系，根据曲线内任意一点的坐标，换算成XOY 坐标，下面以缓和曲线和圆曲线任意一点，来讨论其计算过程。
1、设P 为缓和曲线上任意一点，根据P 点的里程及直缓点的里程可以知道，ZH 点到P 点的曲线长度l ，根据公式（3-2）我们可以知道ZH 点到P 点的弦线长度S
2032202522)6()40(Rl l l R l l y x S +-=+=
弦线01P 的方位角αp 为：
)arctan(0101
y y x x p p p ---=αα
所以根据ZH 点坐标， ZH 点到P 点距离及坐标方位角，可得P 点的坐标为：
)sin()
cos(0101p P p p S Y Y S X X αα∙+=∙+=
2、圆曲线上任意一点坐标的计算。
设J 为圆曲线任意一点的坐标，根据图1-7可知，HY 点的切线方位角为：
00βαβα-=-=zh hy a
可以知道ZH 点到HY 点的曲线长度为0l ，根据公式（3-3）可以求得ZH 点
到HY 点的弦线长0102
2202230212121)6()40(00R l R l l y x +-=+=
所以根据HY 点方位角，我们可以求HY 点坐标：
)sin(00)
cos(00210102210102hy hy Y Y X X αα∙+=∙+=
根据J 点的里程及HY 点的里程（HY 点里程为ZH 点里程加上缓和曲线长）可以知道HY 点到J 点的圆曲线长度L ，根据L 及圆曲线要素，可以求得弦线02P 的长度，及02P 的坐标方位角。
j hy j θαα-=20 πθ0
1802∙=R L j j
2
22))1cos(())2sin((0j j R R p θθ-∙+∙=
所以J 点的坐标为：
)sin(0)
cos(022********j j j j p Y Y p X X αα∙+=∙+=
值得注意一点就是，在YH 点以后的曲线，应以HZ 点为坐标原点，以HZ 点的切线为X 轴，建立坐标系，其余计算与上面方法一样。
注意：坐标方位角的计算，是以正北方向为起始边（方位角以0~3600表示），也就是平行于XOY 坐标系中的X 轴。
坐标方位角绕着某一点旋转一个角度的到另一点，以顺时针方向旋转为正，即加上一个旋转角度，以逆时针方向旋转为负，即减去一个旋转角度。
在设计时，设计院一般跟施
工单位提供JD的坐标及JD跟ZH方位角（或者ZH到JD的方位角），我们根据JD坐标及方位角可以反算ZH点坐标，又根据设计院提供的曲线要素就可以计算曲线每一点的。