度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。
一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°的充要条件为x=y 2°对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。
x 中的元素称为点。
2、常见的度量空间（1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称为离散的度量空间。
（2）序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称 为序列空间。
（3）有界函数空间B(A ）设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义（4）可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。
令 （5）C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。
收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。
（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f tg t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为 中的点列， 即：按欧式距离收敛于x 的充要条件是 依坐标收敛于（2）序列空间S 中：为 S 中的点列，（3）C[a,b]空间设 及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X)设 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如果 ，那么称集M 在集E 中稠密。
等价定义：如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M 中的点，就称M 在E 中稠密。
对任一，有M 中的点列 ，使得 （2）当E=X 时，称集M 为X 的一个稠密子集。
（3）如果X 有一个可数的稠密子集时，称X 为可分空间。
三、连续映射1、度量空间中的连续性设 X=(X,d)，Y=（Y ，d ） 是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射, 如果对于任意给定 ，存在 ，使对X 中一切满足的x ，成立 则称T 在连续。
我们也可以用集显来定义映射的连续性连续性的极限定义设T 是度量空间(X,d)到（Y ，d ） 中的映射，那么T 在 连续的充要条件为当时，必有 2、连续映射如果映射T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映射。
称集合为集合M 在映射T 下的原像。
定理：度量空间X 到Y 的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像 是X 中的开集。
n R ()()()12(,,...,),1,2,...,m m m m n x m ξξξ==12(,,...,)nn x R ξξξ=∈()lim (,)0,()1m m i i m d x x m i n ξξ→∞=⇔→→∞≤≤{}m x m x ()()()12(,,...,,...),1,2,...,m m m m n x m ξξξ==12(,,...,,...)n x Sξξξ=∈()lim (,)0(),m m i i m d x x m ξξ→∞=⇔→→∞{}n x (,)max |()()|n n a t b d x x x t x t ≤≤=-lim (,)0{}[,]n n n d x x x a b x →∞=⇔在上一致收敛于 {}n f lim (,)0()n n n d f f f t →∞=⇔⇒f(t)E M ⊂x E ∈{}n x ()n x x n →→∞0,x X ∈0ε>0δ>0(,)d x x δ<0(,)d Tx Tx ε<0x 0,x X ∈0()n x x n →→∞0()n Tx Tx n →→∞{|,}x x X Tx M Y ∈∈⊂1T M -四、柯西点列和完备度量空间1、柯西点列设 X=(X,d)是度量空间， 是X 中点列，如果对任何事先给定的，存在正整数，使当n ，m>N 时，必有 则称 是X 中的柯西点列或基本点列。
总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。
2、完备的度量空间如果度量空间(X,d)中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称(X,d)是完备的度量空间。
子空间完备性定理完备度量空间X 的子空间M ，是完备空间的充要条件是：M 是X 中的闭子空间。
五、度量空间的完备化1、等距同构映射设(X,d)， 是两个度量空间，如果存在X 到 的保距映射T ，即 ，则称 (X,d) 和 等距同构，此时 T 称为X 到上的等距同构映射。
六、压缩映射原理及其应用作为完备度量空间概念的应用，我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关于存在唯一性的定理（例如微分方程，代数方程，积分方程等）的证明中是一个有力的工具。
在介绍压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点1、压缩映射设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数a ，0<a<1,使得对所有的x,y 属于X ，成立 则称T 是压缩映射。
几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短a 倍的映射。
2、不动点设X 为一个集合，T 是X 到X 的一个映射，如果 ，使得 ，则称x*为映射T 的不动点。
3、压缩映射定理设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点。
注意：a.完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。
b.完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依赖于X 的完备性。
压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 必有{}n x 0ε>()N N ε=(,)n m d x x ε<{}n x (,),X d X (,)(,)d Tx Ty d x y =(,),X d X (,)(,)d Tx Ty d x y α≤*x X ∈**Tx x =0()n x x n →→∞0()n Tx Tx n →→∞八、 赋范线性空间和巴拿赫空间1、赋范线性空间设X 是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量，有一个确定的实数，记为 与之对应，并且满足：1° 且 等价于x=02° 其中 a 为任意实（或复）数；3° 则称 为向量 x 的范数，称X 按范数成为赋范线性空间。
注：范数类似于普通向量的长度2、关于极限的定义（依范数收敛）设是X 中一点列，如果存在 ，使 则称 依范数收敛于 x ，记为 或3、赋范线性空间的性质1°赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。
如果令可以验证 的d （x ，y ） 是X 上的距离。
依范数收敛于 x 等价于 按距离收敛于x称 d （x ，y ）为由范数导出的距离。
度量和线性结构之间的协调性：2°范数是 x 的连续函数。
4、巴拿赫空间及常用例子完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
（1）欧式空间 ，对每个，定义 欧式空间 按上述范数成Banach 空间。
（2）空间，对每个 ，定义 空间 C[a ，b] 按上述范数成Banach 空间。
（3）空间 ，对每个，定义 空间 按上述范数成Banach 空间。
x X ∈x 0x ≥0x =x x αα=,,x y x y x y X +≤+∈x {}n x x X ∈||||0()n x x n -→→∞{}n x ()n x x n →→∞lim n n x x →∞=(,)||||,(,),d x y x y x y X =-∈{}n x {}n x ||||x (,0)(,)(,0)||(,0)d x y d x y d x d x αα-=⎧⎨=⎩||||x n R 12(,,...,)n n x R ξξξ=∈2||||||n x ξ=++n R [,]x C a b ∈||||max |()|a t b x x t ≤≤=l ∞12(,,...)x l ξξ∞=∈||||sup ||j j x ξ=l ∞第八章 有界线性算子和连续线性泛函一、有界线性算子和连续线性泛函1、线性算子和线性泛函的定义()()()()()()()()()()().或复是实T 则称,子集时是数域的T R 当.T R 记作,的值值T 称为T D T ,的定义定T 称为T D 其中,中的线的线性Y 到T D 是从T 则称βTy,αTx βy αx T 成立β,α,及数X,y x,Y,T D :T ,的线线性子空X 是T D ,的线线性空或复是两两个同为Y 和X 设 的线性泛函+=+∈∀→2、有界线性算子和连续线性泛函()()().有界线界线性有界线界线性泛函是特,地特 .线性算子称为为无,否则.中的有界线的有界Y 到T D 是T 则称,T D x ,x c Tx 使得成立c,如果存在常数,是线线性算Y T D :T ,是两两个赋范线性空Y 和X 设 别∈≤→ 3、相关定理连续有界的充分必要条件是则是线性算子设T T T , 定理1()., 子空间中的闭是是上连续的充分必要条件在那么上的线性泛函是设X f N X f X f 定理24、有界线性算子的范数（算子范数）()()()()., ,,.sup,:,,0T D x x T Tx T T D T x Tx T Y X T D T Y X T D x x ∈∀≤∞<=→⊂∈≠则有时当显见上的范数在为算子称是线性算子是两个赋范线性空间设二、有界线性算子空间和共轭空间1、有界线性算子全体所成空间()X Y β→设X 和Y 是两个赋泛线性空间， 以表示由X 到Y 中有界线性算子全体。