成绩：江西科技师范大学毕业论文题目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法（外文）：On the method commonly used inMiddle School to prove inequality院（系）：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学生姓名：吴丹学号：20091741指导教师：樊陈2013年3月20日目录1引言 (1)2放缩法证明不等式 (1)2.1放缩法 (1)2.2（改变分子分母）放缩法 (1)2.3拆补放缩法 (2)2.4编组放缩法 (3)2.5寻找“中介量”放缩法 (4)3反正法证明不等式 (4)3.1反证法定义 (4)3.2反证法步骤 (5)4．换元法证明不等式 (6)4.1利用对称性换元，化繁为简 (6)4.2三角换元法 (7)4.3和差换元法 (8)4.4分式换元法 (8)5．综合法证明不等式 (9)5.1综合法证明不等式的依据 (9)5.2用综合法证明不等式的应用 (9)5.3综合法与比较法的内在联系 (10)6.分析法 (11)6.1分析法的定义 (11)6.2分析法证明不等式的方法与步骤 (11)6.3分析法证明不等式的应用 (11)7．构造法证明不等式 (13)7.1构造函数模型 (13)7.2构造数列模型 (14)8．数学归纳法证明不等式 (15)8.1分析综合法 (16)8.2放缩法 (16)8.3递推法 (17)9.判别式法证明不等式 (17)10.导数法证明不等式 (18)10.1利用函数的单调性证明不等式 (18)9.2利用极值（或最值） (20)11比较法证明不等式 (20)11.1差值比较法 (20)11.2商值比较法 (21)11.3比较法的应用范围 (22)12结束语： (22)参考文献 (22)浅谈中学常用几种证明不等式的方法摘要：中学数学有关不等式的证明的题型多变，技巧性很强，同时它也没有固定的程序加以规定。

因而 他是中学数学考试的难点。

不等式的证明的方法很多。

本文将列举出中学数学常用的几种方法：放缩法、 反正法、换元法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、判别式法、导数法、比较法。

关键词：不等式 证明方法 1引言不等式，渗透在中学数学各个分支中。

而不等式的证明在不等式中占有极其重要的地位。

不等式的证明的方法是中学数学的重要知识，也成为了中学数学考试的热点问题。

本文针对以上的情况，提出了中学几种常见的不等式的证明方法来和大家一起分享，希望不仅能够对我们今后碰到类似的问题起到指导的作用，而且还能够培养分析和解决问题的能力。

2放缩法证明不等式2.1放缩法放缩法的定义：在不等式的证明中，有时可把不等式中的某些项或因式换成数字较大或较小的数或式，以达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。

放缩法的形式：欲证A ≥B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得 ,,,211A B B B B B i ≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤,,211B A A A A A i ≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥≥，，或再利用传递性，达到欲证的目的。

2.2（改变分子分母）放缩法在不等式有分式时，长放大或缩小分式的分子或分母，从而达到“以小代大”或“以大代小”的目的。

例1：求一切3)11(,<+∈n nN n 证明：nn n n n n n C n C n C n 1111)11(221++++=+ =nn n n n n n n n n n !!!3)2)(1(2)1(232++--+-+ ！ n n1!31!212++++< 122121212-++++<n =)21212121(11210-++++n 2112111--+=n 32131<-=-n∴)(3)11(N n n n ∈<+2.3拆补放缩法在证有些不等式的时候，常将其中某些项拆开和或合并以完成证明。

例2：求证：)7(113121>+>++n n n 证明：k k k 21>++∴121++>k k k∴124323221413121+++++++>+++n n n 2211)21(2-+++=-+=n n n 2211)21(2-+++=-+=n n n 02217>-+⇒>n n∴113121+>++n n2.4编组放缩法证明不等式有时把某项拆开，重新编组，利用基本不等式完成证明。

例3：求证:)1,()1(141312111>∈+>+++++n N n n n nn n . 证明：左)11()311()211()11(n++++++++= nn 14534232++++++= n nn n 14534232+⋅⋅⋅> n n n 1)1(+=∴n n n n n 1)1(14131211+>+++++2.5寻找“中介量”放缩法当两式难以比较大小时，可寻找“中介量”牵线搭桥，利用不等式的传递性完成证明。

例4：求证：19log 319log 219log 1log 1log 123552++>+ππ 证明：10log 5log 2log log 1log 152πππππ=+=+ 2log 2=>ππ)895(log 2log 3log 5log 19log 319log 219log 11931921919235⨯⨯=++=++ 2360log 19<=∴19log 319log 219log 1log 1log 123552++>+ππ 小结:放缩法是不等式证明中常见的变形方法之一，具有较高的技巧性。

放缩 必须有目标，而且要恰到好处，需要细心观察，目标往往要从证明的结论中寻 找。

3反正法证明不等式3.1反证法定义“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立”.这种证明的方法，叫做反证法．3.2反证法步骤1、假设命题的结论不成立；2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确，即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．例5：已知：c b a ,,都是小于1的正数；求证：a c a b b a )1(,)1(,)1(---中至少有一个不大于41。

分析 ：采用反证法证明．其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的矛盾从而证明假设不成立，而原命题成立．对题中“至少有一个不大于41”的否命题是“全都大于41”。

证明：假设41)1(,41)1(,41)1(>->->-a c c b b a c b a ,, 都是小于1的正数∴ 21)1(,21)1(,21)1>->->-a c c b b a （ ∴23)1()1()1>-+-+-a c c b b a （ 又 212121)1()1()1a c c b b a a c c b b a +-++-++-≤-+-+-（ =23故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确说明： 反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法．例6：若2,0,033=+>>q p q p ，求证：2≤+q p证明：假设2>+q p ，则8)(3>+q p ，即8)(333>+++q p pq q p 。

因为233=+q p ，所以2)(>+q p pq故2)(>+q p pq 33q p +=))((22q pq p q p +-+=又,0,0>>q p 即0>+q p所以>pq )(22q pq p +-故0)(2<-q p与假设不成立，原命题正确。

总结：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。

反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。

用反证法证明不等式就是最好的应用4．换元法证明不等式4.1利用对称性换元，化繁为简例7:设,,,+∈R c b a 求证:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥.分析:把c b a ,,中的两个互换,不等式不变,所以这是一个对称不等式,令 =-+=y a c b x ,,b a c -+,c b a z -+=则原不等式等价于：()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+.证明:令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,,则 ()z y a +=21,(),21z x b +=()y x c +=21. ,,,+∈R c b a 0<∴xyz 当时,有()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+；当0>xyz 时,有+∈R z y x ,,(否则z y x ,,中必有两个不为正值,不妨设0≤x , 0≤y ,则0≤c ,这与0>c 矛盾), 因此 02>≥+xy y x ,,02>≥+yz z y ,02>≥+zx x z()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,综上所述,()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+把z y x ,,代入上式得: ()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥4.2三角换元法三角换元法的基本思想是根据已知条件，引进新的变量---三角函数，把一个复杂的不等式问题转化为三角不等式的问题，再利用三角函数的性质及三角恒等式去证明，从而使不等式得证。

例8：已知122≤+y x ，求证2222≤-+y xy x分析：由已知122≤+y x ，令ϕαϕαsin ,cos ==y x ，则1≤a证明：令ϕαϕαsin ,cos ==y x ，1≤a 2222≤-+y xy x ϕϕαϕαϕαsin cos 2sin cos 2222+-= 22)42sin(22sin 2cos 222≤≤+∙=+=απϕϕϕa a说明:换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等式．常用的换元法有(1)若1≤x ，可设αsin =x ，R ∈α；(2)若122=+y x ，可设ααcos ,sin ==y x ；(3)若122≤+y x ，可设ϕαϕαsin ,cos ==y x ，1≤a 。

4.3和差换元法在题中有两个变量y x ,，可设b a y b a x -=+=,，这称为和差换元法，换元后有可能简化代数式。