数列求和—裂项相消专题
裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有：
1. 111
(1)1n a n n n n ==-
++ 1111
()(2)22n a n n n n =
=-++
┈┈ 1111
()
()n a n n k k n n k
=
=-++
2
n p a An Bn C
⇒=
++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式） 2. 1111
()(21)(21)22121
n a n n n n ==--+-+
1111
()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++
1111
()(65)(61)66561
n a n n n n =
=--+-+
3. 1111
(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦
4. 111211
(21)(21)2121
n n n n n n a ---==-
++++
+1+1211(21)(21)2121
n n n n n n a ==-++++
122(1)111
(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-=
=⋅=-
++⋅+
=-┈┈
1
2
=
1
k =
1.在数列{}n a 中，11211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ，且1
2+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.
2.已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，
2
1
n n n b a a +=⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，
证明：1334
n S ≤<.
3.等比数列{}n a 各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==，
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
4. 设数列{}n a 满足01=a 且111
111=---+n
n a a ，
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n
a b n n 1
1+-=，记∑==
n
k k
n b
S 1
，证明：1<n S .
5. （安徽江南十校2015联考）已知各项为正数的数列{}n a 满足
:
214()n n n a a a n N *+++=-∈,且121,4a a ==,
（1）
证明：数列是等差数列 ;
（2） 设1
21
n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <.
6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,64,035+=≠a S d 且931,,a a a 成等比数列， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S 1的前n 项和n T .
7.等差数列{}n a 中，21,61131==+a a a ， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设)
3(1+=n n a n b ，求n n b b b S +⋅⋅⋅⋅++=21.
8.(2010山东)已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,n a a a a =+=的前n 项和为n S ， （1）求n a 及n S ； （2）令2
1()1
n n b n N a *
=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
9.（2013全国1）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足350,5S S ==-， （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21211
n n a a -+⎧
⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
10.(2013江西)正项数列{}n a 满足：2
(21)20n n a n a n ---=，
（1）求{}n a 的通项公式； （2）令1
(1)n n
b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
11.(2017全国3)设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=， （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和.
12.（2015安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==， （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和.
13.（2014贵州适应性训练）已知数列{}n a 是等差数列，12342,,,1a a a a =+成等比数列， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2
(2)
n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
14.（2013大连育明高中模拟）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n
S 为其前n 项和，且满足221()n n a S n N *
-=∈，数列{}n b 满足1
11n n n b a a +=
-，n T 为数列{}n b 的前n 项和， （1）求1,a d 和n T ；
（2）是否存在实数λ，使对任意的()n N *
∈，不等式8n T n λ<+恒成立？若存在，请求出实数λ的取值范围；若不存在，说明理由.
15.n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知2
0,243n n n n a a a S >+=+，
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.
16.已知等比数列{}n a 的公比1q >，1a 和4a
的等比中项为2a 和3a 的等差中项为6，
数列{}n b 满足54
3log (3
)()n n n b a n N -*=⋅∈， （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设13,n n n n c T b b +=
⋅是数列{}n c 的前n 项和，求使的20
n m T <对所有n N *
∈恒成立的最
小整数m 的值.。