数列求与—裂项相消专题
裂项相消得实质就是将数列中得每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,以达到求与得目得、 常见得裂项相消形式有:
1、 111(1)1n a n n n n =
=-++ 1111()(2)22
n a n n n n ==-++ ┈┈ 1111()()n a n n k k n n k =
=-++
2n p a An Bn C
⇒=
++(分母可分解为n 得系数相同得两个因式) 2、 1111()(21)(21)22121
n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123
n a n n n n ==-++++ 1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+ 3、 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦
4、 111211(21)(21)2121
n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121
n n n n n n a ==-++++ 122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==⋅=-++⋅+
5、
=┈┈
12=
1k =
1、在数列{}n a 中,1
1211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a n ,且12+⋅=n n n a a b ,求数列{}n b 得前n 项得与、 2、已知数列{}n a 就是首相为1,公差为1得等差数列,2
1n n n b a a +=⋅,n S 为{}n b 得前n 项与,证明:1334
n S ≤<、
3、等比数列{}n a 各项均为正数,且212326231,9a a a a a +==,
(1)求{}n a 得通项公式;
(2)设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+,求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
得前n 项与、 4、 设数列{}n a 满足01=a 且
111111=---+n n a a , (1)求{}n a 得通项公式;
(2)设n a b n n 1
1+-=,记∑==n k k n b
S 1,证明:1<n S 、
5、 (安徽江南十校2015联考)已知各项为正数得数列{}n a 满足
: 214()n n n a a a n N *+++=-∈,且121,4a a ==,
（1） 证明:
数列
就是等差数列 ; （2） 设1
21n n n n b a a ++=,{}n b 得前n 项与为n S ,求证:1n S <、 6、已知等差数列{}n a 得前n 项与为n S ,公差,64,035+=≠a S d 且931,,a a a 成等比数列,
(1)求数列{}n a 得通项公式;
(2)求数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S 1得前n 项与n T 、
7、等差数列{}n a 中,21,61131==+a a a ,
(1)求数列{}n a 得通项公式;
(2)设)3(1
+=n n a n b ,求n n b b b S +⋅⋅⋅⋅++=21、
8、(2010山东)已知等差数列{}n a 满足:{}3577,26,n a a a a =+=得前n 项与为n S ,
(1)求n a 及n S ;
(2)令21()1
n n b n N a *=∈-,求数列{}n b 得前n 项与n T 、
9、(2013全国1)已知等差数列{}n a 得前n 项与为n S ,满足350,5S S ==-,
(1)求{}n a 得通项公式;
(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
得前n 项与、 10、(2013江西)正项数列{}n a 满足:2(21)20n n a n a n ---=,
(1)求{}n a 得通项公式;
(2)令1(1)n n
b n a =+,求数列{}n b 得前n 项与n T 、 11、(2017全国3)设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=,
(1)求{}n a 得通项公式;
(2)求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
得前n 项与、 12、(2015安徽)已知数列{}n a 就是递增得等比数列,且14239,8a a a a +==,
(1)求{}n a 得通项公式;
(2)设n S 为数列{}n a 得前n 项与,11
n n n n a b S S ++=,求数列{}n b 得前n 项与、 13、(2014贵州适应性训练)已知数列{}n a 就是等差数列,12342,,,1a a a a =+成等比数列,
(1)求{}n a 得通项公式;
(2)设2(2)
n n b n a =⋅+,求数列{}n b 得前n 项与n S 、 14、(2013大连育明高中模拟)已知数列{}n a 就是各项均不为0得等差数列,公差为d ,n S 为
其前n 项与,且满足221()n n a S n N *-=∈,数列{}n b 满足1
11n n n b a a +=-,n T 为数列{}n b 得前n 项与,
(1)求1,a d 与n T ;
(2)就是否存在实数λ,使对任意得()n N *
∈,不等式8n T n λ<+恒成立？若存在,请求出实数
λ得取值范围;若不存在,说明理由、
15、n S 为数列{}n a 得前n 项与,已知20,243n n n n a a a S >+=+,
(1)求{}n a 得通项公式;
(2)设1
1n n n b a a +=,求数列{}n b 得前n 项与、 16、已知等比数列{}n a 得公比1q >,1a 与4a
得等比中项为2a 与3a 得等差中项为6,数
列{}n b 满足543log (3
)()n n n b a n N -*=⋅∈, (1)求数列{}n a 与{}n b 得通项公式;
(2)设13,n n n n c T b b +=⋅就是数列{}n c 得前n 项与,求使得20n m T <对所有n N *∈恒成立得最小整数m 得值、。