数列求和专题复习
一、公式法
1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2.等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n
n
3.常见数列求和公式：
)1(211+==∑=n n k S n
k n ；)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ；2
1
3)]1(21[+==∑=n n k S n
k n
例1：已知3
log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和.
例2：设n S n +⋅⋅⋅+++=321，+∈N n ,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
二、倒序相加法
似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。

如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法.
例3：求ο
ο
ο
ο
ο
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2++⋅⋅⋅+++的值
例4：求2222
2
2222222123101102938101
++++++++L 的和．
变式1：已知函数()
x
f x =
（1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L 的值.
三、裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο
οο
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++=
n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 例5：求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
例6：在数列{}n a 中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=
n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.
变式1：求证：ο
ο
οοοοοο1
sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++
四、q 倍错位相减法
类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法.若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.
若n n n c b a ⋅=，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令 112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++L
则n qS = 122311n n n n b c b c b c b c -+++++L 两式相减并整理即得
例7：求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
例8：求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
五、分组求和法
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例9：求和：()()()()
123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯L
例10:求数列{})12)(1(++n n n 的前n 项和.
课后巩固：
1.等比数列{}n a 的前n 项和12-=n n S ，则2
232221n
a a a a ++++Λ＝______________. 2.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--L ，则n S ＝_______________. 3.
111
1447(32)(31)
n n +++=⨯⨯-⨯+L . 4.
1111
...243546(1)(3)
n n ++++⋅⋅⋅++= .
5.数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++L L L 的通项公式n a = ，前n 项和n S = .
6.
;,2
1
2,,25,23,2132ΛΛn n -的前n 项和为 . 7.数列{}n a 满足：11=a ，且对任意的N n m ∈,*
都有：mn a a a n m n m ++=+，则
=++++2008
3211
111a a a a Λ ( ) A.
2009
4016
B.
2009
2008
C.
1004
2007
D.
2008
2007
8.数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，若其首项满足511=+b a ，，11b a >且N b a ∈11,,则数列{n b a }
前10项的和等于( )
A ．100
B ．85
C ．70
D ．55
9.设n n m ⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=)1(433221，则m 等于( )
A.3)1(2-n n
B.)4(21+n n
C.)5(21+n n
D.)7(2
1+n n
10.若n S n n ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=-1
)1(4321，则503317S S S ++等于( )
A.1
B.-1
C.0
D.2
11.设{}n a 为等比数列,{}n b 为等差数列，且n n n b a c b +==,01，若数列{}n c 是1,1,2,…,则{}n c 的前10 项和为( )
A.978
B.557
C.467
D.979
12.22222212979899100-+⋅⋅⋅+-+-的值是( )
A.5000
B.5050
C.10100
D.20200
13.已知数列{}n a 的首项31=a ，通项nq p a n
n +=2(
+∈N n ，p ，q 为常数)，且1a ，4a ，5
a 成等差数
列．求：
（1）p ，q 的值；（2）数列{}n a 前n 项和n S 的公式．
14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =，122+=n n a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n n n a b a b a b 2
1
12211-=+⋅⋅⋅++，+∈N n ，求{}n b 的前n 项和n T .
15.已知等差数列{}n a 是递增数列，且满足1574=⋅a a ，883=+a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令)2(911≥=
-n a a b n
n n ，3
1
1=
b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S ；数列{}n b 满足),2(11+--∈≥=-N n n b b b b n n n n ，
11=b .
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n b a 的前n 项和n T .
17.在等比数列{}n a 中，01>a ，+∈N n ，且82
3=-a a ，又1a ，5a 的等比中项为16.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n a b 4log =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得k S S S S n
<+⋅⋅⋅+++1
111321对任意
+∈N n 恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由．。