i 1 j 1
n
0
(i 1,2,, n)
简化上式并将 代入得 n 2 ( C ij Dij ) j 0
2
(i 1,2,, n)
j 1
或
(C 2 D) 0
上式为n个齐次线性方程，为了使方程组有非零解，必 须得到 C 2D 0 上式展开后得到一个 2 的n次方程，该方程有n个根。对 2 于其中的每一个根 j 都可求得一组常数ij (i 1,2,, n) ，因 此得到n个振型函数i ( x)
( x, t )表示y( x, t )对时间t求偏导数) (式中，y
系统的动能
1 l T m( x )v 2 dx 2 0
将振动速度代入得
l 1 2 2 T cos (t ) m( x) 2 ( x)dx 0 2
动能的最大值发生在 cos(t ) 1
Tmax 1 2 l m( x) 2 ( x)dx 0 2
2 3
Eb3 2 b 5 Eb3 2 2 b 6 ( h h )1 ( h h ) 2 0 6 15g 10 21g Eb3 2 2 b 6 Eb3 3 2 b 7 ( h h )1 ( h h ) 2 0 10 21g 10 28g
展开系数行列式，并令其等于零,得频率方程：
x ( x ) y sin m 解：（1）振型为 l
m 2 l x m 2 Tmax ym sin dx 2 ym l 0 2 l 4
V max EI 2 x EI 4 2 y sin dx ym m 2 3 0 2 l l 4l
4 3 2 2
因集中质量大于梁的分布质量，选用后一种试函数好
Vmax
1 l EI 2 ( x )dx T * 2 0
1 l 2 2 S ( x ) dx m ( x ) a 0 2
R ( )
Vmax T*
例.用能量法计算图示体系的基频. 解: m 2
y(x,t)为静荷载（自 重、F等）引起的位 移，如自重等
n l 1 1 W sin(t ) m( x) g ( x)dx sin(t ) Fii 0 2 2 i 1
式中，g : 重力加速度 Fi : 集中质量mi 得重力荷载（ Fi＝mi g）
i : 集中质量作用点振幅
因为 Tmax Wmax ,可以解得

9.8 EI l2 m
此值与精确解相比较，偏大约2％
例：计算重力坝沿水流方向 的自振频率时，可以取沿坝 轴线方向单位长度的坝体近 似地简化为图（a）所示的变 截面悬臂梁。试用瑞利法计 算其自振频率。
解：选变截面悬臂梁在其自重作用下所引起的挠曲线作为 近似振型，如图（b）所示，即 h 2 2 ( x) y ( x) 2 x
当 sin(t ) 1 时，应变能最大，即
V max
2 1 l EI ( x) ( x, t ) dx 2 0
使 Tmax V max ，即可得到
2

l
0
EI ( x) ( x) dx
2 l 0

m( x) 2 ( x)dx
瑞利商
用外力做功的数值代替系统应变能的数值 图（b）系统上外力所做的总功为 1 l 1 n W m( x) g y( x, t )dx Fi y( xi , t ) 2 0 2 i 1 将运动方程代入上式得
l 2
2
从而得
EI 4 2 ym EI 4 3 2 4l 4 m 2 m l ym l 4
自振频率

2
l
2
EI m
精确解
（2）取振型为梁在自重荷载上的挠曲线。图（c）所示为匀布 自重荷载作用下简支梁的静力挠曲线，即 16 4 ( x) ym 4 ( x 2lx 3 l 3 x) 5l 最大动能
3
2
1
二，李兹能量法
李兹给出了级数形式的近似振型
( x ) 1 f1 ( x ) 2 f 2 ( x ) n f n ( x )
i f i ( x)
i 1 n
其中，f1 ( x)，f 2 ( x)， ，f n ( x)为满足位移边界条件的 函数
1， 2，， n为待定参数。
j ( x) ij f i ( x)
i 1
n
(j 1,2,, n)
求得的 j , j ( x) 就是所研究的系统前n个自振频率和振型 函数的近似解。
例：试用李兹法求图所示重力坝 的第一和第二阶自振频率。
解：为了使级数各项都满足位移边界条件，近似振型函数选为
( x) 1x2 2 x3 n xn1
将上式代入瑞利商的表达式得
EI ( x ) f ( x ) i i dx 0 i 1 2 2 n l m ( x ) f ( x ) i i dx 0 i 1
l n 2
引进下列记号为
x) f j( x)dx Cij EI ( x) f i(
式中vi为各集中质体的振动速 度。
当cos(t ) 1时，动能达最大值
1 2 l 1 2 n 2 Tmax m( x) ( x)dx mi (i ) 2 0 2 2 i 1
由Tmax M max 得到
2
m( x) g ( x)dx F
当 sin(t ) 1 时，应变能达到最大值，此时外 力所作的功亦为最大值，
1 l 1 n W m( x) g ( x)dx Fii 2 0 2 i 1
这时系统的动能除了分布质量m(x)的动能外，还应 包括各集中质量mi (i 1,2,, n) 的动能，即 n 1 l 1 2 T m( x)v dx mi vi2 2 0 2 i 1 将振动速度代入得 l 1 2 2 T cos (t ) m( x) 2 ( x)dx 0 2 n 1 2 2 cos (t ) mi (i ) 2 2 i 1
0 l
Dij m( x) f i ( x) f j ( x)dx
0
l
所以
2
C D
i 1 j 1 ij i i 1 j 1 n n ij i
n
n
j
j
根据频率为极值的条件 ( 2 ) 0 i
(i 1,2,, n)
得到
i
C D
i 1 j 1 ij i
n n
n
n
i 1 j 1 n n
ij
i
j
0
j
(i 1,2,n
Dij i j
i 1 j 1
i 1 n

2( Cij i j )( Dij j )
i 1 j 1 n i 1
n
( Dij i j ) 2
假设经一次近似计算只取第一项，即
( x) 1x2
代入瑞利商的表达式得
1.581
b h2 Eg （与前面的结果完全一 样）

若取级数前两项，即
( x) 1x 2 2 x3
将 f1 ( x) x , f 2 ( x) x 代入相关式子计算出 Cij , Dij ，这时 (C 2 D) 0 成为
l 0 i 1
n
i i

l
0
m( x) ( x)dx mi (i ) 2
2 i 1
n
例：如图（a） 所示均质等截面简支 梁。单位梁长的质量为 m ，其抗弯 刚度EI为常数。若振型分别为图（b） x y ( x ) y sin 所示 （ m为梁中点的最大 m l 挠度）和图（c）所示梁在自重作用下 的挠曲线。分别计算自振频率，并将 所得结果进行比较。
m m m mg
k
3 2 1
y3
y2
m
m m
1 0 k k 1 2 1 0 1 1
k
k
1.取自重引起的位移
y1 3m g / k y2 y1 2m g / k 5m g / k
第五章 自振频率和振型的实用计算
第一节 能量法求自振频率
一，瑞利能量法 根据能量守恒，在任何瞬时（忽略能量散失）
T (t ) V (t ) 常数
设图示系统中任一质点的运动方程为 y( x, t ) ( x) sin(t )
振动速度
( x, t ) ( x) cos(t ) v y
根据Tmax Wmax 得到
b 1.581 2 h Eg （比精确解大 3.06 ％）

y
例：等截面悬臂梁
端部有一集中质量 m 2 Sl 用瑞利法估计基频
0
l
m
x
解：
选择等截面悬臂梁在均布载荷下的静挠度曲线作为试函数：
EI ( x) A1 ( x 4lx 6l x ) 1 1.1908 Sl 4 选择端部集中质量作用下的静挠度曲线作为试函数： EI ( x) A2 (3lx 2 x 3 ) 1 1.1584 Sl 4
从图（b）可以看出其分布质量为 b m( x ) (h x) hg 最大动能和外力功的最大值为 1 2 h Tmax m( x) 2 ( x)dx 0 2 1 2 3 h9 2 3 2 E b g 30
Eb 式中，为坝身材料单位体积的 重量。
1 h Wmax m( x) g ( x) dx 2 0 1 2 h2 2 Eb 12
y3 y1 mg / k 6mg / k