I 0 kn
其中 I 0 —— 圆盘对中心轴的转动惯量
k n —— 圆轴的抗扭弹簧常数
固有频率 则
pn kn I0
2 n
kn
I0
0 sin pnt
图2-4 扭振系统
p 0
0 cos pnt
pn

扭振系统的振动微分方程与单自由度弹簧质量振动系统的微 分方程的形式完全相同，它们的振动特性也完全相同。因此 归为单自由度弹簧质量振动系统进行讨论。
k k1 k2
5
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第二章 单自由度系统的振动
2、 串联弹簧
( st )1 ( st ) 2 st
F1 F2 mg
k1
F1 k1 ( st )1 F2 k2 ( st ) 2
( st )1 mg mg ( st ) 2
k1 k2
x0 x x0 cos pnt sin pnt 或x A sin( p t ) n pn
An p x arctg( n 0 ) x0 2 x0 x 2 pn
2 0
3
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第二章 单自由度系统的振动
二、 周期、频率和圆频率（只与系统本身有关）
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第二章 单自由度系统的振动
1 T I B 2 2 1 2 2 V kb 2
d (V T ) 0 dt
1 1 2 I B 2k b2 0 2 2
k b2 0 IB

pn
kb 2 IB
习题2-1 2-3 2-5 2-6
§2-4 有阻尼系统的衰减振动 干摩擦:与压力成正比 （库仑阻尼） 外阻尼
粘性阻尼: R cu cx (c为粘性阻尼系数）
流体动力阻尼: R bx 2
阻尼
内阻尼 材料非弹性阻尼 迟滞圈的面积表示单位体积在 一个振动循环中所逸散的能量 结构的非弹性阻尼:比材料阻尼大许多但 一并合入材料阻尼讨论
pn cos( pnt )
1 1 2 2 Tmax I Bmax I B 2 pn 2 2 取平衡位置为系统的势能零点，则
其中
14
k
B
C
D
P
l
b
图2-5 船舶振动记录仪示意图
1 2 2 V k st b st Pl 2
4
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第二章 单自由度系统的振动
1 、并联弹簧
( st )1 ( st )2 st
F1 F2 mg
F1 k1 ( st )1 k1 st
k1
k2
l
F1 F2
m
m
F2 k 2 ( st ) 2 k2 st
st
mg
m
mg k st
1
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第二章 单自由度系统的振动
§2-1 无阻尼系统的自由振动
弹簧－质量系统 一 、自由振动方程 A 取静平衡位置为坐标原点，方向如图2-1 l k mg k ( sk x) mx B mg k sk st . o kx 0 mx F x 取静平衡位置为坐标原点时，重力和 静变形不出现在振动方程中。 mg 常取静平衡位置为坐标原点，不考虑 x 重力和静变形的影响。 图2-1 单自由度振动系统 令
Pl k st b
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第二章 单自由度系统的振动


1 2 2 V kb 2
Vmax 1 2 2 kb 2
常取静平衡位置为坐 标原点，不考虑重力 和静变形的影响


1 1 2 2 2 2 I B pn kb 2 2
pn kb 2 IB
15
11
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第二章 单自由度系统的振动
设 me 为广义质量， k n 为广义弹簧常数，q 为广义坐标，则 单自由度系统的自由振动微分方程的典型形式为
2 q pn q 0
pn
并联弹簧
kn m
kn kn1 kn 2
串联弹簧
kn1kn 2 kn kn1 kn 2
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第二章 单自由度系统的振动
例2-1 一个质量为m的物体从h的高出落下，与抗弯刚度为EJ， 长为l的简支梁做塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动 的频率、振幅和最大挠度。
解：质量为m的物体放于简支梁的 中点时，梁中点处的静挠度为
mgl 3 st 48EJ
h x
F
t A st 1 1 st
mgl 3 48 EJ 96 EJh 1 1 mgl 3
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9
第二章 单自由度系统的振动
例2-2质量为m的物块悬挂如图2-3，设 AB杆质量不计，两弹簧的弹簧常数为k1 和 k2 ，求物块的自由振动频率。 解:
第二章 单自由度系统的振动
目的及基本要求 目的在于介绍单自由度系统的自由振动 阻尼振动和受迫振 动以及响应谱和用能量法计算固有频率。要求学生通过单自由 振动了解振动的一些基本特征，并能求解基本振动问题，为研 究复杂振动系统奠定一定基础。 重点及难点
重点介绍自由振动和简谐振动激励作用下的受迫振动。难点是 周期激励和任意激励下的受迫振动 学时分配 共8学时（自由振动、能量法2学时；衰减、受迫3学时；应用、 周期1学时；任意激励、响应谱2学时）
例2-4 计算考虑弹簧质量时弹簧质量系统的固有频率。
解：弹簧各点位移 (s, t )的边界条件为
(0, t ) 0
设 (s, t ) x(t ) f (s)
则f (s)应满足
f (0) 0
(l , t ) x(t )
0sl
f (l ) 1
s ds
l
m
x s 设 f ( s) ,则 图2-6 单自由度振动系统 l l 1 1 me 0 f 2 ( s ) ds l m (mˊ 为弹簧质 3 3
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第二章 单自由度系统的振动
§2-2 计算固有频率的能量法
在保守力场中（机械能守恒的力场）
T V 常数
取静平衡位置为势能的零点，则任意一位置时
1 mx 2 2 1 V kx 2 2 T
Vmax Tmax
13
d (V T ) 0 dt
金属橡胶减振器 钢丝绳减振器
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第二章 单自由度系统的振动
以平衡位置为坐标原点，向下
mx cx kx 0
2 2nx pn x 0 x
m
k c
o
x
其中 pn
k ———固有频率 m
图2-8 有阻尼系统的衰减振动
c n ———衰减系数 2m
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第二章 单自由度系统的振动
§2-3 瑞利法
利用动能计算将分布质量等效为集中质量，加在原来的惯性 元件的集中质量上,作为单自由度系统处理，从而得到更精确的固 有频率的近似值，这种方法称为Rayleigh法 s s处的位移 ( s, t ), 则 ds l (0, t ) 0 0 s l ( s, t ) x (t ) f ( s ) (l , t ) x (t ) m f(s)---形状函数或振型，是质量m有单位 位移时弹簧各点相应的位移. f 必须满足 边界条件 f (0) 0 f (l ) 1
量)
pn
19
k m me
k m m 3
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第二章 单自由度系统的振动
只要将弹簧质量的三分之一作为集中质量加到原质量上就 可以考虑弹簧质量的影响。
1 （m m，误差为0.5%; m m, 误差为0.75%; m 2m,误差为2 %) 2
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mg
o
x
该系统自由振动的频率为
f 1 2 g
图2-2 简支梁系统
st

1 2
48 EJ ml 3
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第二章 单自由度系统的振动
以撞击时刻为初始时刻，则
x0 st
2 2 0
x0 2 gh
x0 mgl 3 96 EJh 2 A x st 2h st 1 pn 48EJ mgl 3
第二章 单自由度系统的振动
例2-5 如图所示为一均质等直简支梁，中央处有一集中质量m, 计算考虑梁质量时系统的固有频率和梁的等效质量。
解：设
其中
y( x, t ) yc (t ) f ( x)
yc (t ) 梁中点的挠度 f ( x) 梁振动的形状函数
A
m C
yc
B
x
l
dx
2 l 2
图2-7 简支梁振动系统
设
x x f ( x) 3 4 l l
3
l 0 x 2
边界条件 f (0) 0 f ( l ) 1 2
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第二章 单自由度系统的振动
设
x x f ( x) 3 4 l l
l
3
l
Tmax
其中
1 2 1 l 2 1 2 2 mxmax f ( s)dsxmax (m me ) pn A2 2 2 0 2
me f 2 (s)ds