高一上学期数学压轴难题
汇总
Newly compiled on November 23, 2020
一．已知函数()f x 满足1
2
(log )()1
a a f x x x a -=
--，其中0a >且 1a ≠，对于函数()f x ，当(1,1)x ∈-时，(1)(12)0f m f m -+-<，求实数m 的取值范围.
二．曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式是Q=
0(1
1
3≥++x x x 已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，当年产销量相等试将年利润y （万
元）表示为年广告费x 万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利
三．已知函数()()()()101log 1log ≠>--+=a a x x x f a a 且， （1）求()x f 的反函数()x f 1-； （2）若()3
111
=-f
，解关于x 的不等式()()R m m x f ∈<-1.
四．定义在R 上的单调增函数f(x)，对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 五．已知圆C ：044222=-+-+y x y x . (1)写出圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且以AB 为直径的圆过原点.若存在，求出直线m 的方程; 若不存在,说明理由.
六．已知x 满足03log 7)(log 22
12
21≤++x x ，求)4)(log 2(log 2
2x x y =的最大值与最小值及相应的x 的值.
七．已知圆方程：01222
2=+++-+a y ax y x ，求圆心到直线02=-+a y ax 的距离的取值范围
八．已知函数()2f x ax bx c =++,(,,0)a b c R a ∈≠且
九．自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆
074422=+--+y x y x 相切，求光线L 所在直线方程．
十．已知圆O ：122=+y x ，圆C ：1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如右图，满足|PA |=|PB |. （1）求实数a 、b 间满足的等量关系； （2）求切线长|PA |的最小值；
（3）是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切 并且与圆C 相外切若存在，求出圆P 的方程； 若不存在，说明理由. 答案：
一．解：设
log a t x =， t
x a
∴=
所以2
()()1t t
a f t a a a -=-- 即2
()()1
x x
a f x a a a -=-- 二 。
解：设每年投入x 万元，年销量为1
1
3++=x x Q 万件， 每件产品的年平均成本为Q
332+
， 年平均每件所占广告费为
Q
x ， 销售价为Q x Q x Q 29
482123332++=⋅+⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ 年利润为x x Q x Q Q x Q y -++=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=23
163322948 当x=100时，明显y<0
B
P A
故该公司投入100万元时，该公司亏损
三．解：
∈
+-=∴+-=⇒-x a a x f e e x x x y y (11)(,111
R ）；--------------------------（4分）
（2）m
x f a a a f x x <+-=∴=⇒+-=∴=--1212)(,21131,31)1(11
，
m m x +<-⇒1)1(2；--------------------------（6分）
①当1≥m 时，不等式解集为∈x R ；--------------------------（8分）
②当11<<-m 时，得
m m x -+<
112，不等式的解集为}
11log |{2m m
x x -+<；---------------（10分）
③当
∈-≤x m ,1时φ --------------------------（12分）
四．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R )， ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x )+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．--------------（4分）
(2)解： f(x)在R 上是单调增函数，，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， k ·3x ＜-3x +9x +2， 32x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．
令t=3x ＞0，问题等价于t 2-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒成立．--------------------（6分）
--------------------------（8分）
--------------------------（10分）
综上，221+-<k
--------------------------（12分）
五．
六．解： 由题意可得
21
log 32
1-≤≤-x ，∴3log 212≤≤x
又∵)4
)(log 2(log 22x
x y ==)2)(log 1(log 22--x x
=2log 3)(log 22
2+-x x =4
1
)23(log 22--x
∴当2
3
log 2=x 时，41m in -=y ，当3log 2=x 时，2max =y
即，当22=x 时，4
1
m in -=y ；当8=x 时，2max =y
七．解:将圆方程配方得a a y a x -=++-22
2)1()((2分) 故满足02>-a a ，解得1>a 或0<a (6分) 由方程得圆心)1,(-a 到直线02=-+a y ax 的距离
1
11
|
1|2
2
22+=
+--=
a a a a d ,0,1<>a a (10分)
212>+∴a ,得2
2
0<
<d (14分) 八．
九．．解：已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1， 它关于x 轴的对称圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝1。
设光线L 所在直线方程是：y －3＝k (x ＋3)。
由题设知对称圆的圆心C ′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即11|55|2
=++=
k
k d ．
整理得,01225122=++k k 解得3
4
43-=-=k k 或．
故所求的直线方程是)3(433+-=-x y ，或)3(34
3+-=-x y ，
即3x ＋4y －3＝0，或4x ＋3y ＋3＝0
十．解：（Ⅰ）连结PO 、PC ，∵|PA |=|PB |，|OA |=|CB |=1， ∴|PO |2=|PC |2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：052=-+b a . （Ⅱ）由052=-+b a ，得52+-=b a ∴当2=b 时，2||min =PA
（III ）∵圆O 和圆C 的半径均为1，若存在半径为R 圆P ，与圆O 相内切 并且与圆C 相外切，则有
1||-=R PO 且 1||+=R PC
于是有：2||||=-PO PC 即 2||||+=PO PC 从而得 2)4()2(2222++=-+-b a b a 两边平方，整理得)2(422b a b a +-=+
将52=+b a 代入上式得：0122<-=+b a
故满足条件的实数a 、b 不存在，∴不存在符合题设条件的圆P .。