宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 复习课教案 新
人教版选修2-2
3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。
二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力 三、教学过程： 【创设情境】
一、知识结构：
【探索研究】
我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。
通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
【例题评析】
例1：如图第n 个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。
则第n －2个图形中共有________个顶点。
推理与证
明
推理 证明
合情推理
演绎推理 直接证明
间接证明 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法
数学归纳
变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块。
例2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为,αβ，则22
cos sin
αβ
+
=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_______________________;
变题2：数列
}
{
n
a
的前n项和记为Sn，已知
).
3,2,1
(
2
,1
1
1
Λ
=
+
=
=
+
n
S
n
n
a
a
n
n
证明：
（Ⅰ）数列
}
{
n
S
n
是等比数列；
（Ⅱ）
.
4
1n n
a S=
+
例3：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：第1个第2个第3个
1()
2f x +
为偶函数。
例4：设Sn=1+111
(23)
+++
n (n>1,n ∈N),求证：212n n S >+ （2,n n N ≥∈） 评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。
变题：是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=12)
1(+n n (an2+bn+c) 对于一切
正整数n 都成立？证明你的结论。
解 假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，
这时令n=1,2,3,有⎪⎩⎪
⎨⎧===∴⎪
⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧++=++=++=10
11
3 3970)24(2122)(614c b a c
b a
c b a c b a
于是，对n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2=)
10113(12)
1(2+++n n n n
记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2 （1）n=1时，等式以证，成立。
（2）设n=k 时上式成立，即Sk=12)
1(+k k (3k2+11k+10) 那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=2)1(+k k (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
=12)2)(1(++k k (3k2+5k+12k+24)=12)
2)(1(++k k ［3(k+1)2+11(k+1)+10］
也就是说，等式对n=k+1也成立
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n 均成立
【课堂小结】
体会常用的思维模式和证明方法。
【反馈练习】
1．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则
A ．11<<-a
B ．20<<a
C ．2321<<-
a D ．21
23<
<-a 2．定义A*B ，B*C ，C*D ，D*B 分别对应下列图形
那么下列图形中
可以表示A*D ，A*C 的分别是 ( ) A ．（1）、（2） B ．（2）、（3） C ．（2）、（4） D ．（1）、（4）
3 已知f(n) =(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n ∈N,都能使m 整除f(n)，则最大的m 的值为( )
A 30
B 26
C 36
D 6 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k ≥2)时， f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k －(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k －2(k ≥2) ⇒f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36 4 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145 (1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+
n
b 1)(其中a ＞0且a ≠1)记Sn 是数列{an}的前n 项和，试
比较Sn 与31
logabn+1的大小，并证明你的结论
解 (1) 设数列{bn}的公差为d,
（1） （2） （3） （4） （1） （2） （3） （4）
由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=311452)
110(10101
111d b d b b ,∴bn=3n －2
(2)证明 由bn=3n －2知Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+…+loga(1+231
-n ) =loga ［(1+1)(1+41)…(1+ 231
-n )］
而31logabn+1=loga 3
13+n ,于是，比较Sn 与31
logabn+1的大小
⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231
-n )与313+n 的大小
取n=1，有(1+1)=
333
11348+⋅=> 取n=2，有(1+1)(1+333
1
2378)41+⨯=>> 推测 (1+1)(1+41)…(1+231
-n )＞3
13+n (*)
①当n=1时，已验证(*)式成立
②假设n=k(k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231
-k )＞3
13+k
则当n=k+1时，
)
131
1(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k Λ
3
1
31323+++=
k k k
33
3
332(
31)(34)31k k k k ++-++Q
3222
(32)(34)(31)940(31)(31)
k k k k k k +-+++==>++
3
3331
2)343(1)131k k k k k ++>+=+++31
)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k Λ从而,
即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立
于是，当a ＞1时，Sn ＞31
logabn+1
,当 0＜a ＜1时，Sn ＜31
logabn+1
【课外作业】
《课标检测》。