2.2.2 反证法
学习要求
1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
知识要点
1．定义：假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等．
问题探究
探究点一反证法的概念
问题1王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他
们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”
”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了什么方法？
问题2上述方法的含义是什么？
问题3反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．
反证法引出的矛盾有几种情况？
问题4反证法主要适用于什么情形？
探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论
例1已知直线a，b和平面α，如果a⊄α，b⊂α，且a∥b，求证：a∥α.
小结数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．
跟踪训练1已知：a∥b，a∩平面α＝A，如图．求证：直线b与平面α必相交．
探究点三用反证法证明否定性命题
例2求证：2不是有理数．
小结 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
跟踪训练2 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．
探究点四 用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型命题
例3 若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．
跟踪训练3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6
.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.
当堂检测
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中() A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
3．“a<b”的反面应是()
A．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a＝b或a>b
4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
5．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
课堂小结
1．反证法证明的基本步骤是什么？
(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)
(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)
2．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？
反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．
——★参考答案★——
知识要点
1．不成立假设错误原命题成立
2．已知条件假设定义、公理、定理、事实
问题探究
探究点一反证法的概念
问题1答反证法．
问题2答假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．
问题3答(1)与原题中的条件矛盾；
(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；
(3)与假设矛盾．
问题4答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论
例1证明：因为a∥b，
所以经过直线a，b确定一个平面β.
因为a⊄α，而a⊂β，
所以α与β是两个不同的平面．
因为b⊂α，且b⊂β，
所以α∩β＝b.
下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．
假设直线a与平面α有公共点P，
则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，
这与a∥b矛盾．
所以a∥α.
跟踪训练1证明：假设b与平面α不相交，即b⊂α或b∥α.
①若b⊂α，因为b∥a，a⊄α，
所以a∥α，这与a∩α＝A相矛盾；
②如图所示，如果b∥α，则a，b确定平面β.
显然α与β相交，设α∩β＝c，因为b∥α，
所以b ∥c .又a ∥b ，从而a ∥c ，
且a ⊄α，c ⊂α，
则a ∥α，这与a ∩α＝A 相矛盾．
由①②知，假设不成立，故直线b 与平面α必相交．
探究点三 用反证法证明否定性命题
例2 证明：假设2是有理数．于是，存在互质的正整数m ，n ，使得2＝m n
， 从而有m ＝2n ，
因此m 2＝2n 2，
所以m 为偶数．于是可设m ＝2k (k 是正整数)，从而有
即n 2＝2k 2，
所以n 也为偶数．这与m ，n 互质矛盾． 由上述矛盾可知假设错误，从而2不是有理数．
小结 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
跟踪训练2 证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则
a ＋c ＝2
b ，即a ＋
c ＋2ac ＝4b ，
而b 2＝ac ，即b ＝ac ，
∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，
∴(a －c )2＝0. 即a ＝c ，
从而a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 不成等差数列矛盾， 故a ，b ，c 不成等差数列．
探究点四 用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型命题
例3 证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，
设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，
又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，
所以f (α)<f (β)．这与假设f (α)＝0＝f (β)矛盾，
所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．
小结 当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．
跟踪训练3 证明：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，
所以a ＋b ＋c ≤0，
而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6
)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，
所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，
故a 、b 、c 中至少有一个大于0.
当堂检测
1．[答案]B
2．[答案]B
3．[答案]D
4．[答案]D
5．证明：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝b a .
如果方程不止一个根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，即ax 1＝b ， ① ax 2＝b . ②。