第四章 海洋中的声传播理论水声传播常用的方法：波动理论（简正波方法）——研究声信号的振幅和相位在声场中的变化；射线理论（射线声学）——研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，且适用于高频，但它能有效、清晰地解决海洋中地声场问题。

4.1 波动方程和定解条件1、波动方程当介质声学特性是空间坐标的函数，则可得小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：p t u -∇=∂∂ρ 0=⋅∇+∂∂u tρρρd c dp 2= 状态方程可写为：tc t p ∂∂=∂∂ρ2由状态方程和连续性方程可得：012=⋅∇+∂∂u tp c ρ 利用运动方程从上式中消去u可得0112222=∇⋅∇-∂∂-∇ρρp tp c p当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式不同。

引入新的从变量：ρϕp=，则可得0432********=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇+∂∂-∇ρρρρϕϕt c 对于简谐波，222ω-=∂∂t ，则上式可写为：()0,,22=+∇ϕϕz y x K式中，2224321⎪⎪⎭⎫⎝⎛∇-∇+=ρρρρk K 。

ϕ不是声场势函数，K 也不是波数。

在海水中，与声速相比密度变化很小，可将其视为常数，则()z y x c k K ,,ω==，于是()0,,22=+∇ϕϕz y x k ()0,,22=+∇p z y x k p如果介质中有外力作用F，例如有声源情况，则有()ρϕϕFz y x K ⋅∇=+∇,,22在密度等于常数时，有()ρϕϕFz y x k ⋅∇=+∇,,22()F p z y x k p⋅∇=+∇,,22上述赫姆霍茨方程是变系数的偏微分方程——泛定方程。

2、定解条件满足物理问题的具体条件——定解条件。

物理量在介质边界上必须满足的条件。

（1）绝对软边界绝对软边界条件：声压为零界面方程表示为()t y x z ,,η=，()()0,,,,,==t y x z t y x p ηη——不平整海面 也称为第一类齐次边界条件如果已知边界面上的压力分布，则()()s t y x z p t y x p ==,,,,,ηη，称为第一类非齐次边界条件。

（2）绝对硬边界绝对硬边界条件：法向质点振速为零00=∂∂=z zp ——平整硬质海底界面方程为表示()t y x z ,,η=，则硬边界条件为：()0=+∂∂+∂∂=⋅z y x u u yu x u n ηηη——不平整硬质海底 也称为第二类齐次边界条件如果已知边界面上质点振速分布，则s z y x u u u yu x =+∂∂+∂∂ηη，称为第二类非齐次边界条件。

（3）混合边界条件混合边界条件：压力和振速线性组合()s f ap n p s=⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂——阻抗型海底若a 为常数，则称为第三类边界条件。

若()0=s f ，则称阻抗边界条件：nu p Z -=（4）边界上密度或声速的有限间断边界上压力连续和法向质点振速连续：00+-=s s p p011+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂s s n p n p ρρ——液态海底或同一种介质内部密度或声速发生突变 ✧ 若压力不连续，质量加速度区域无穷的不合理现象。

✧ 若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集”的不合理现象。

无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质——辐射条件。

（1）平面波情况 平面波的辐射条件：0=±∂∂++ϕϕjk x（2）柱面波和球面波情况柱面波声辐射条件：0lim =⎪⎭⎫⎝⎛±∂∂∞→ϕϕjk r r r 球面波声辐射条件：0lim =⎪⎭⎫⎝⎛±∂∂∞→ϕϕjk r r r ——也称为索末菲尔德（Sommerfeld ）条件。

对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即0→r ，∞→p ，它不满足波动方程；如果引入狄拉克δ函数，它满足非齐次波动方程()t j Ae r tpc p ωπδ 412222-=∂∂-∇狄拉克δ函数的定义()⎰⎩⎨⎧===VV r V r dV r 以内在体积内包含在体积0001δ ========================================================= 证明上述非其次波动方程正确性：对于简谐球面波，有()t j Ae r p k p ωπδ422-=+∇对上式进行体积积分，有t j VVAe dV p k dV p ωπ422-=+∇⎰⎰利用高斯定理：dS n F dV F SV⎰⎰⋅=⋅∇，则有t j VSAe dV p k dS n p ωπ42-=+⋅∇⎰⎰A dV e rA kd r Ae r jkr Vjkrjkr S πΩ41222-=+--⎰⎰-- 上式左端第二项积分为零，可证明左端与右端的值相等。

=========================================================== 结论：非齐次方程包含奇性定结条件。

（四）初始条件当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件。

4.2 波动声学基础1、硬底均匀浅海声场如图所示波导模型，上层为均匀水层，其厚度为H ，声速为0c ；下层为硬质均匀海底；海面和海底均平整。

点声源位于()00,0z r处。

（一）简正波由于问题的圆柱对称性，则水层中声场满足以下波动方程：()0202241r r A p k zp r p r r r --=+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂δπ 根据三维狄拉克δ函数定义可以，在圆柱对称情况下，求得：()()()0021z z r rr r -=-δδπδ令1=A ，则可得()()02222221z z r r p k z p r p r r p --=+∂∂+∂∂+∂∂δδ 令()()()∑=nnnz Z r R z r p ,，经分离变量求得，本征函数()z Z n的通解为：()()()H z z k B z k A z Z zn n zn n n ≤≤+=0cos sin式中，()z k zn 为本征值，它是波数00k ω=的垂直分量。

根据边界条件： ✧ 自由海面：()00=n Z✧ 硬质海底：0=⎪⎭⎫⎝⎛=Hz n dz dZ 求得：0=n B ， ,3,2,121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n H n k zn π。

根据()z Z n 的正交归一化条件，可求得：H A n 2=，于是()()z k Hz Z zn n sin 2=同理可得()r R n 的解为：()()()()()()()r H z k Hj r H z Z j r R n zn n n n ζπζπ200200sin 2-=-= 式中，()20H 为零阶第二类汉克尔函数；()r n ζ波数00k ω=的水平分量22021⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=H n c n πωζ 声场中的声压：()()()()()()()()()∑∑-=-=nn zn znn nn n r H z kz k Hj r H z Z z Z j z r p ζπζπ200200sin sin 2,对于远离点源，1>>r n ζ，根据汉克尔函数的近似表达式：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈4202πζπζζr j n n n err H第n 阶简正波为：()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛---=-=4040sin sin 222,πζπζζπζπr j zn zn n r j n n n n n n e z k z k rHje z Z z Z r j z r p 每阶简正波沿深度z 方向作驻波分布、沿水平r 方向传播的波；不同阶数的简正波其驻波的分布形式不同。

注意：级数求和的数目与传播的频率和层中参数有关。

（二）截止频率由简正波水平波数表达式可得，其阶数最大取值为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=210c H N πω当简正波阶数N n >时，n ζ为虚数，简正波()z r p n ,的振幅随r 作指数衰减，但衰减很快，只有在r 接近零时，才对解有贡献。

因此，在远场，声场可以表示成有限项和：()()()∑=⎪⎭⎫⎝⎛---=Nn r j zn zn n n e z k z k rHjz r p 140sin sin 22,πζζπ 临界频率：最高阶简正波的传播频率H c N N 021πω⎪⎭⎫ ⎝⎛-= H c N f N 2210⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 注意：声源激发频率N ωω<时，波导中不存在第N 阶及以上各阶简正波的传播。

截止频率：简正波在波导中无衰减传播的最低临界频率Hc 201πω=Hc f 401=声源频率1ωω<时，所有各阶简正波均随距离按指数衰减，远场声压接近零。

注意：对于绝对硬界面的平面波导，零阶简正波的截止频率为零，任何频率的声波均能在波导中传播；若声波频率小于一阶简正波的截止频率，则波导中只有均匀平面波一种行波。

（三）相速和群速相速：等相位面的传播速度()201ωωζωn npn c c -==注意：浅海波导属于频散介质。

群速度：201⎪⎭⎫⎝⎛-=+==ωωζζζωn n pn n pn n gnc d dc c d d c 简正波的群速小于相速。

pn c 随ω增加而减小；gn c 随ω增加而增加。

pn c 和gn c 满足：20c c c gn pn =。

简正波相速和群速的区别：简正波n p 可写成：()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫⎝⎛--44040sin 21sin sin 22,πζπζπζζπζπz k r j z k r j zn n r j zn zn n n zn n zn n n e e z k r He z k z k rH j z r p简正波n p 在z 方向上是由两个波迭加而形成的驻波。

两平面波与z 轴夹角等于：k n n ζθarcsin ±= 21sin ⎪⎭⎫⎝⎛-==ωωζθn nn k 相速：虚斜线沿r 方向的传播速度n pn c c θsin 0= 群速：波形包络的传播速度n pn c c θsin 0= 注意：波导为频散介质，导致脉冲波形传播畸变。

（四）传播损失前面讨论的简正波表达式也用于()z c c =情况，假设单位距离处声压振幅为1，则在远距离处的传播损失：()()()()∑=--==Nn r j n n n n e z Z z Z rr I I TL 102lg 101lg 10ζζπ当n Z 和n ζ均为实数时，上式等于：()()()()()()()∑∑=≠----=Nn Nm n r j m m n n mn n n n m n e z Z z Z z Z z Z r z Z z Z r TL 1002024lg 102lg 10ζζζζπζπ式中，第二项的大小依赖于各阶简正波相位之间的相关程度，随距离作起伏变化；而第一项与之无关，随距离单调增加。